11.3. Усилия в тонкой пластинке

Найдем внутренние силовые факторы в сечении, перпендикулярном оси :

Рис.12. Внутренние силовые факторы

- изгибающий момент

- крутящий момент

- поперечная сила.

Все силы рассматриваются на единицу ширины пластины (т.е. делим на размер вдоль ).

По определению . Из (21) получим:

.

Изгибающий момент по определению:

. (23)

Обозначим

- цилиндрическая жесткость пластины.

Единицы измерения изгибающего момента на единицу ширины.

Поперечная сила:

.

Проинтегрировав, получим:

.

Единицы измерения: на единицу ширины.

Крутящий момент:

Единицы измерения: на единицу ширины.

Аналогично найдем

;

; (24)

;

Заметим, что , как и должно быть по третьему закону Ньютона.

Формулы (23), (24) связывают усилия в пластинке с прогибами срединной плоскости. Вычислив прогибы, можно полностью найти напряженное состояние в пластине.

12. Уравнение равновесия тонкой пластины

12.1. Вывод уравнения равновесия пластины

Рассмотрим равновесие элемента пластинки . Все усилия надо умножать на длину грани, чтобы получить силу.

Рис.13. К выводу уравнений равновесия

Сумма проекций всех сил на ось должна быть равна нулю:

,

где - нагрузка на единицу площади. Получим:

Уравнение моментов всех сил относительно :

.

Отсюда получим (пренебрегая вторыми порядками малости):

Аналогично из уравнения моментов относительно :

Исключая из уравнений , , получим:

Подставив сюда выражения для моментов (23), (24) и приведя подобные, получим:

(25)

Обычно это уравнение записывают в виде:

, где

- оператор Лапласа.

Получено основное уравнение изгиба пластины. В его решение входят произвольные функции, определяемые из краевых условий закрепления.

12.2. Формулировка граничных условий

Рассмотрим прямоугольную пластинку (рис. 14).

Рис.14. Координаты и размеры пластинки

1. Защемленный край: нет ни прогибов, ни поворотов:

при , : ;

при , : .

2. Шарнирно опертый край:

при : ;

Выразим момент через прогиб : .

Однако при , тождественно выполнено равенство , поэтому для шарнирно опертой пластинки:

при , : .

Аналогично получим:

при , : .

Определение. Дифференциальное уравнение в частных производных с заданными на границе области соотношениями для искомых функций называется краевой задачей.

12.3. Изгиб круглой пластинки

В полярных координатах оператор Лапласа имеет вид:

.

Уравнение изгиба инвариантно относительно координат:

.

В полярных координатах:

.

Пусть нагрузка на пластинку и условия закрепления не зависят от координаты . Тогда уравнение имеет вид;

. (*)

Изгибающие моменты при этих условиях равны:

,

а крутящий момент обращается в нуль.

Для свободно опертой по краю пластинки краевые условия будут:

, , при . (**)

Прямой подстановкой можно проверить, что функция:

является общим решением (*) при .

Из (**) можно найти значения произвольных постоянных :

при :

.

Отсюда для прогибов получим:

.

Максимальный прогиб, очевидно, в центре пластинки при :

.

Подставляя в формулу для моментов, получим:

,

.

Это – параболические функции. Максимальные моменты - также в центре:

.

Аналогично из краевых условий

можно найти и для защемленной по краю пластины.