О. Н. Жданов в. А. Чалкин эллиптические кривые: основы теории и криптографические приложения
Рецензенты:
кандидат физико-математических наук, доцент Н. А. Бушуева
(Сибирский федеральный университет);
кандидат физико-математических наук, доцент И. Н. Васильева
(Санкт-Петербургский государственный
инженерно-экономический университет);
доктор физико-математических наук, профессор А. М. Попов
(Сибирский государственный аэрокосмический
университет имени академика М. Ф. Решетнева)
Жданов, О. Н.
Ж 42 Эллиптические кривые: основы теории и криптографические приложения : учеб. пособие / О. Н. Жданов, В. А. Чалкин .
Пособие посвящено применению эллиптических кривых в криптографии. Рассматриваются ключевой обмен, шифрование, алгоритм цифровой подписи (ЭЦП) по действующему в настоящее время стандарту Российской Федерации. Изложение иллюстрируется примерами, приводятся упражнения для самопроверки.
Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальностям 090105 «Комплексное обеспечение информационной безопасности автоматизированных систем» и 090106 «Информационная безопасность телекоммуникационных систем». Как представляется авторам, пособие может быть полезным также для студентов и аспирантов-математиков, имеющих цель быстро войти в круг вопросов теории эллиптических кривых и познакомиться с приложениями данной теории.
УДК 004.042(075.8)
ББК 32.973.26-018.2я7
Ж 42
Оглавление
Предисловие 4
Глава 1. Эллиптические кривые 6
§ 1. Алгебраические кривые и эллиптические кривые 6
§ 2. Группа точек эллиптической кривой 16
§ 3. Применение эллиптических кривых
в задаче факторизации чисел 31
Контрольные задания 35
Глава 2. Криптосистемы на эллиптических кривых 38
§ 1. Кодирование и дискретное логарифмирование 38
§ 2. Ключевой обмен и шифрование с использованием
группы точек эллиптической кривой 42
§ 3. Алгоритм цифровой подписи, основанный на группе
точек эллиптической кривой 48
Контрольные задания 51
Глава 3. Аспекты практической реализации криптографических
алгоритмов на эллиптических кривых 52
§ 1. Эффективная реализация элементарных операций 52
§ 2. Определение количества точек на кривой 57
§ 3. Использование стандартных кривых 64
§ 4. Применение эллиптических кривых в криптографии 66
Контрольные задания 69
Практические задания 83
Послесловие 84
Библиографический список 85
Приложение 87
П редисловие
В настоящее время значение методов и средств защиты информации возрастает. Это во многом связано с расширением электронного документооборота. Все больше используется электронная цифровая подпись (ЭЦП). Для повышения надежности систем аутентификации, систем подписи применяются самые современные методы алгебры и алгебраической геометрии. Так, действующий стандарт ЭЦП России основан на теории эллиптических кривых.
Теория эллиптических кривых является частью теории плоских алгебраических кривых – одного из важнейших разделов алгебраической геометрии. Имеются тесные связи теории эллиптических кривых с теорией эллиптических функций и с диофантовым анализом. Начало этой теории было положено трудами древнегреческого математика Диофанта, а в дальнейшем ее развитии приняли участие многие выдающиеся математики прошлого. Структуру группы на эллиптических кривых определил знаменитый математик Анри Пуанкаре.
Долгое время теория эллиптических кривых являлась областью чистой математики. Однако в 1980-х гг. были найдены приложения этой теории к построению алгоритмов факторизации больших чисел. И далее теория эллиптических кривых нашла применение как в классической криптографии (для генерации псевдослучайных последовательностей), так и в построении криптосистем с открытым ключом, в разработке протоколов распределения ключей и протоколов цифровой подписи.
Идея создания эллиптической криптографии была выдвинута в 1985 г. независимо В. Миллером и Н. Коблицем. Интерес к эллиптическим кривым в криптографии обусловлен тем, что они являются богатым источником конечных абелевых групп, обладающих полезными структурными свойствами, а также тем, что на их основе обеспечиваются те же криптографические свойства, которыми обладают числовые или полиномиальные криптосистемы, но при существенно меньшем размере ключа.
Во многих отношениях эллиптические кривые – естественный аналог мультипликативных групп полей, но более удобный, так как существует бóльшая свобода в выборе эллиптической кривой, чем в выборе конечного поля.
На сегодняшний день имеется довольно много учебной литературы, посвященной эллиптическим кривым и их применению в криптографии. Однако это либо руководства рецептурного типа, не затрагивающие основ теории, либо, напротив, глубокие теоретические работы, малопонятные инженеру без мощной математической подготовки.
Данное учебное пособие восполняет этот пробел в литературе. Авторы попытались приблизить сложные, абстрактные элементы теории к пользователю и показать практическое применение абстрактных конструкций в реальной работе по защите информации.
Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальностям 090105 «Комплексное обеспечение информационной безопасности автоматизированных систем» и 090106 «Информационная безопасность телекоммуникационных систем». Как представляется авторам, пособие может быть полезным также для студентов и аспирантов-математиков, имеющих цель быстро войти в круг вопросов теории эллиптических кривых и познакомиться с приложениями данной теории.
Пособие состоит из трех глав.
В первой главе обсуждаются основные свойства эллиптических кривых и абелевы группы точек на этих кривых.
Вторая глава посвящена построению криптографических систем с открытым ключом, использующих конечную абелеву группу точек эллиптической кривой.
В третьей главе рассматривается практическая реализация криптографических алгоритмов на эллиптических кривых.
Теоретический материал иллюстрируется примерами.
Упражнения для самопроверки позволяют читателю оценить свой уровень понимания изученного материала. Приведены типовые, стандартные задания(в 30 вариантах) на сложение точек, умножение точки на число, зашифрование и расшифрование, генерацию и проверку электронной цифровой подписи.
В приложении приводятся выдержки из действующего стандарта электронной цифровой подписи РФ.
Для более глубокого изучения тематики предназначена литература, составляющая библиографический список.
Настоящее учебное пособие явилось результатом обобщения опыта чтения лекций и проведения практических и лабораторных работ авторами в Сибирском Государственном Аэрокосмическом Унивеситете(СибГАУ) в течение 2000-2011 годов.
Для понимания содержания пособия необходимо владеть основными понятиями математического анализа и элементами теории чисел(сравнения по простому модулю, малая теорема Ферма) и начальными сведениями из теории групп.
Авторы считают приятным долгом выразить благодарность Т.Е.Ильющенко, Е.В.Федоровой, Н.В.Кожевиной за помощь в подготовке рукописи.
Г
лава
1