Распределительный (дистрибутивный) закон

а) умножение относительно сложения

Х₁(Х₂ + Х₃) = Х₁Х₂ + Х₁Х₃

б) сложение относительно умножения

Х₁ + Х₂Х₃ = (Х₁ + Х₂) (Х₁ + Х₃)

В справедливости этих законов легко убедиться, построив контактные схемы, соответствующие левой и правой частям каждого из равенств и проанализировав их работу. Для первого закона они будут различаться лишь порядком следования контактов, что не может сказаться на работе схем; для второго закона эти схемы будут совершенно одинаковыми. Для третьего закона схемы будут отличаться, но функционировать они будут идентично.

Теоремы для одной переменной (иногда их также называют законами). Представим их запись в виде следующей таблицы.

Первые восемь равенств легко доказываются путём сравнения работы контактных схем, соответствующих правой и левой частям каждого из них при обоих значениях переменной Х.

Справедливость равенства № 5 очевидна. Оно выражает ту мысль, что состояние, противоположное (инверсное) состоянию , есть Х.

Теоремы (законы) для 2-х переменных. Большая их часть доказывается на основе теорем для одной переменной.

Теорема поглощения: а(а + b) = a

Доказательство: а + аb = а(1 + b) = а1 = а

Для доказательства мы использовали сначала распределительный закон, потом на основании теоремы единичного множества (теорема 2) заменяем 1 + b =1 и получаем а1, что по той же теореме равно а.

Теорема склеивания: . Доказательство: = .

Теоремы (законы) Де Моргана (законы инверсии).

¯ – стрелка Пирса, НЕ-ИЛИ (функция Даггера-Вебба или антидизъюнкция)

­– штрих Шефера или НЕ–И (несовместимость или антиконъюнкция).

Эти теоремы доказываются перебором логических переменных. Для этого необходимо, задаваясь последовательно всеми возможными сочетаниями ложных и истинных значений (т.е. 1 и 0) входных переменных и подставляя их в функции убедиться в тождественности их левой и правой частей (т.е. используются таблицы истинности).

Например:

a	b
0	0
0	1
1	0		= 0×1 = 0
1	1		=0×0=0

Аналогично, используя таблицу истинности, доказывается справедливость закона Де Моргана «НЕ-И».

Формы записи логических функций. Элементарным логическим произведением (суммой) называют произведение (сумму) любого числа логических переменных, входящих в данное произведение (сумму) со знаком инверсии или без него не более одного раза.

Например, выражения , являются элементарными произведениями (конъюнкциями), а выражения ( ), – элементарными суммами (дизьюнкциями). В то же время выражения , , (ab + c), к элементарным отнести нельзя.

Сумма любого числа элементарных произведений называется дизъюнктивной нормальной формой записи функции (ДНФ). Например,

№п/п	Х1	Х2	наборы
1	0	0
2	0	1
3	1	0
4	1	1

Произведение любого числа элементарных сумм называется конъюнктивной нормальной формой записи функции (КНФ).

Например: .

Очевидно, что для каждой функции может существовать несколько нормальных дизъюнктивных или конъюнктивных форм, являющихся равносильными. Переход от одной формы к другой осуществляется на основании законов и теорем алгебры логики. Например, обе части равенства являются равносильными. Докажем это равенство:

Дизъюнктивной совершенной нормальной формой (ДСНФ) записи функции называют дизъюнктивную нормальную форму, если в каждой из её конъюнкций присутствуют все переменные со знаком инверсии или без него.

Например:

Конъюнктивную нормальную форму также называют совершенной нормальной (КСНФ), если в каждую из её элементарных дизъюнкций входят все переменные со знаком инверсии или без него.

Например: