Способы задания бинарных отношений

Существует четыре разных способа задания отношений (рис. 7.3); преимущества каждого проявляются при разных характеристиках множества X.

П ервый, очевидный, способ состоит в непосредственном перечислении таких пар. Ясно, что он приемлем лишь в случае конечного множества X.

В торой удобный способ задания отношения R на конечном множестве – матричный. Все элементы нумеруются, и матрица отношения R определяется своими элементами a^ij(R) = {1: x_iRx^j; 0: x_i x^j} для всех i и j. Известным примером такого задания отношений являются турнирные таблицы (если ничьи обозначить нулями, как и проигрыш, то матрица изобразит отношение “x_i – победитель x^j”) .

Третий способ – задание отношения графом. Вершинам графа G(R) ставят в соответствие (пронумерованные) элементы множества X, и если x_iRx^j, то от вершины x_i проводят направленную дугу к вершине x^j; если же x_i x^j, то дуга отсутствует.

Граф предпочтений - это рисунок, который получается следующим образом:

1. Кружками изображаются альтернативы.

2. Они пронумеровываются (это будут вершины графа).

3. Если какие-то две альтернативы сравниваются, между ними проводится линия (называемая ребром или дугой графа). Если в сравнении "победила" одна альтернатива,

это обозначается стрелкой в сторону проигравшего. Если исход ничейный, линия остается ненаправленной.

Располагая таким протоколом наблюдений, можно выделить "самые лучшие" альтернативы. Для этого нужно определить критерий, кого считать "лучшим", и сделать это можно по-разному. Например, считать лучшим того, кто не проиграл ни разу. Тогда выделятся альтернативы 6 и 10.

Правда, и при этом может не оказаться "самого лучшего" по избранному критерию (например, не окажется того, кто не проиграл ни разу). Придется вводить другие критерии. Но главным препятствием для получения полного набора парных сравнений становится их большое количество - N(N-1) - при больших N, поэтому стало бы невозможным определение чемпиона мира ни по одному виду спорта. Правда, спортсмены разработали сокращенные, приближенные способы определения лидера - либо зональные соревнования с последующими сражениями между победителями зон, либо олимпийская система с выбыванием после первого поражения.

Для определения отношений на бесконечных множествах используется четвертый способ – задание отношения R сечениями. Множество

R⁺(x) = {y  X | (y, x)  R}

называется верхним сечением отношения R, а множество

R^–(x) = {y  X | (x, y)  R}

– нижним сечением. Иначе говоря, верхнее сечение – это множество всех y  X, которые находятся в отношении yRx с заданным элементом x  X, а нижнее сечение – множество всех y  X, с которыми заданный элемент x находится в отношении R. Отношение однозначно определяется одним из своих сечений.

Приведенные ниже примеры иллюстрируют все четыре способа представления конкретных отношений.

Пример 1. Полное бинарное отношение U:

1) в U входят все пары (x_i, x^j), x_s  X;

2) a^ij(U) = 1 для всех i и j;

3) граф G(U) такой, что его дуги соединяют любую пару вершин (стрелки направлены в обе стороны, поскольку x_i U x^j и x^j U x_i, а каждая вершина имеет петлю: x_i U x_i);

4) R⁺(x) = R^–(x) = X для любого x  X.

П ример 2. Диагональное отношение E:

1) в E входят только пары с одинаковыми номерами: x_i E x^j верно только при i = j;

2) a^ij(E) = { 1: i = j; 0: i ??j };

3) граф G(E) такой, что каждая его вершина имеет петлю, а остальные дуги отсутствуют;

4) R⁺(x) = R^–(x) = x для любого x  X.

Замечание. Обратите внимание на очень важное предположение в языке бинарных отношений – независимость упорядочения двух альтернатив от любой третьей. Это предположение существенно для всей теории. В ее приложениях важно убедиться, что оно выполняется в изучаемом варианте выбора.