18.2.Вычисление объемов тел

18.2.1. Объем тела по известным площадям поперечных сечений.

П усть известны площади S(x) сечений тела  плоскостями, перпендикулярными оси ОХ, axb (рис.18.7 а). Требуется найти его объем V_.

Р азобъем отрезок [a,b] на n частей точками {x₀=a, x₁,...,x_i,...,x_n=b} выберем произвольные точки _i[x_i-1, x_i], i=1,n и построим цилиндры с площадями оснований S(_i) и высотами x_i=x_i-x_i-1 (рис. 18.7 б).

Объем ступенчатого тела, состоящего из этих цилиндров, равен поэтому за объем тела  принимается V_D=

В правой части стоит интегральная сумма для функции S(x), поэтому .

Пример: Найти объем тела , ограниченного эллипсоидом

В сечении тела  плоскостью x=const получим эллипс , поэтому площадь S(x)=bc (см. 18.1.2) и V=

18.2.2. Объем тела вращения. Пусть криволинейная трапеция D с границей D: y=y(x), x=a, x=b (a<b),y=0 вращается вокруг оси ОХ. Поперечными сечениями являются круги с радиусами y(x), поэтому S(x)= [y(x)]² и

V_x= .

Пусть криволинейная трапеция D с границей D: x=x(y), y=c, y=d (c<d),x=0 вращается вокруг оси ОY, тогда S(y)=[x(y)]²,V_y= .

Пример: Определить объем тела, образуемого вращением фигуры D c

границей D (D: y²=4-x, x=0): а) вокруг оси ОХ; б) вокруг оси OY.

П

2

Y

ри вращении фигуры D вокруг оси OX получим параболоид (рис. 18.8 а), объем которого .

y²=4-x

y²=4-x

4

-4

O

X

4 X

-2

а) б)

Рис. 18.8

При вращении фигуры D вокруг оси OY получаем тело, изображенное на рис. 18.8 б. Его объем

18.3. Вычисление длины дуги плоской кривой

18.3.1. Длина дуги в прямоугольной системе координат

О: Длиной дуги l кривой L называется предел, к которому стремится длина вписанной в нее ломаной, когда длина наибольшего ее звена стремится к 0 

Пусть кривая L задана уравнением y=y(x), axb, причем y(x) - непрерывно дифференцируемая функция на [a,b]. Разобъем ее на n частей точками с абсциссами {a₀=x₀, x₁, ..., x_n=b} и проведем хорды через эти точки (рис. 18.9 а). Получим вписанную ломаную, причем длина l_i ее i-го звена равна , где x_i=x_i-x_i-1, y_i=y(х_i)-y(х_i-1). По теореме Лагранжа , _i(x_i-1,x_i), а длина всей ломаной, вписанной в

а) б)

Рис.18.9

кривую L , равна Из определения длины дуги имеем Так как правая часть есть интегральная сумма для функции , то

. (18.1)

Пример: Определить длину дуги окружности x²+y²=4 при 0х2

(рис. 18.9 б).

18.3.2. Длина дуги кривой в параметрической форме. Пусть уравнение кривой L задано в параметрической форме x=x(t), y=y(t), t, где функции x(t), y(t) непрерывно дифференцируемы на [,], причем x(t)0

на [,]. Тогда y(х)= и l=

Пример: Найти длину окружности, заданной параметрическими уравнениями x=2cost, y=2sint при 0t/4.

l=

18.3.2. Длина дуги в полярных координатах. Пусть уравнение кривой L в полярных координатах r=r(),, причем функция r=r() непрерывно дифференцируема на [,]. Используя формулы перехода от полярных координат к декартовым и принимая за параметр угол , имеем параметрические уравнения кривой L: x=r()cos, y=r()sin. Тогда l=

Пример: Вычислить длину дуги логарифмической спирали r=ae^m (a>0), 0 (рис. 18.10).

Рис. 18.10

18.3.4. Формула дифференциала дуги. Используя теорему о производной интеграла с переменным верхним пределом, для имеем , axb. Отсюда получаем формулу для дифференциала дуги .

При параметрическом задании кривой L .

Дифференциал дуги может быть записан и через dx и dy: