15.2. Основные свойства н.И.

1⁰. Производная от н.и. равна подинтегральной функции, а дифференциал - подинтегральному выражению (f(x)dx) =f(x) df(x)dx=f(x)dx.

2⁰. dF(x)=F(x) + c, в частности dx=x+c.

Свойства 1⁰, 2⁰ следуют из определения н.и.

3⁰. Н.и. от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме н.и. от каждого слагаемого.

Д окажем, что (f₁(x) f₂(x))dx= f₁(x)dx f₂(x)dx (Равенство понимается с точностью до постоянного слагаемого). Действительно, по 1⁰: ((f₁(x) f₂(x))dx)= f₁(x) f₂(x), (f₁(x)dx f₂(x)dx)= (f₁(x)dx) (f₂(x)dx)= f₁(x) f₂(x). Таким образом, левая и правая части имеют одинаковые производные и могут отличаться лишь постоянной

4⁰. Постоянный множитель можно выносить за знак н.и.:

cf(x)dx=cf(x)dx, c=const.

5 ⁰. Независимость вида н.и. от выбора аргумента (инвариантность формы интеграла): f[(t)]d=F[(t)]+c, где F(x)=f(x), (t) имеет непрерывную производную.

Действительно, по свойству инвариантности формы дифференциала: d[F[(t)]+c]=F[(t)]d(t)=f[(t)]d(t)

Частным случаем 5⁰ является f(ax+b)d(ax+b)=F(ax+b)+c.

Очевидно, учитывая, что d(ax+b)=adx, получаем формулу f(ax+b)dx= F(ax+b)+c.

15.3. Таблица н.и.: Используя определение н.и. и таблицу производных (разд. 9.6), можно записать таблицу н.и. (см. опорный конспект № 15). Все формулы таблицы могут быть проверены нахождением производной от правой части - она равна подинтегральной функции.

15.4. Методы интегрирования

15.4.1. Метод разложения. Основан на разложении подинтегральной функции на сумму функций и дальнейшем использовании свойств 3⁰ и 4⁰. Применяется, если интегралы от слагаемых являются табличными или если известен метод их нахождения.

Пример: x²/2+e^x+3/x +c.

15.4.2.Метод замены переменной (подстановки). Пусть функция x=(t) имеет непрерывную производную, тогда f(x)dx=f[(t)] (t)dt.

Формула следует из свойства 5⁰ для н.и. Она может быть использована в

следующем виде: f[(x)](x)dx= =f(t)dt.

Примеры:

1) tgxdx=

2)

В этих примерах методом подстановки получены табличные интегралы 7), 15).

15.4.3. Метод интегрирования по частям. Пусть функции u(x), v(x) имеют непрерывные производные, тогда udv= uv - vdu - формула интегрирования по частям. Она применяется, если vdu более прост для интегрирования, чем udv (см.ОК № 15).

d (uv)=vdu+udv  udv=d(uv)- vdu=uv-vdu (см. свойство 2⁰ )

Примеры: 1)xsin3xdx= 2) lnxdx= =xlnx-x =xlnx-dx=xlnx - x +c.

3) e^2xsin3xdx= =

= =

Обозначим e^2xsin3xdx=I, тогда

16. Классы интегрируемых функций

опорный конспект № 16

16.1. Интегрирование рациональных дробей

16.1.1. Понятие рациональной дроби

О: Рациональной дробью называется фуцнкция

где B_j, A_i -заданные коэффици-

енты, i=0,n, j=0,m. Рациональная дробь называется правильной, если m<n, неправильной, если mn 

Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Д

x³ x²-x-2

x³-x²-2x х+1

x²+2x

x²-x-2

3x+2=r(x)-остаток

ействительно, пусть R(x)= - неправильная рациональная дробь. Разделим числитель на знаменатель, получим , где L_l(x) и остаток r_k(x) - многочлены, а - правильная рациональная дробь.

П ример: R(x)= =x+1+

Таким образом, R(x)dx=L_l(x)dx+ dx, r_k(x) - остаток. Первый из этих интегралов легко вычисляется. Для того, чтобы вычислить второй интеграл, надо подинтегральную функцию представить в виде суммы так называемых простейших рациональных дробей, а затем их проинтегрировать. Для этого рассмотрим простейшие рациональные дроби.

16.1.2. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование

1 т и п. , A, a - заданные числа R: =Aln|x-a|+c.

2 т и п. , A, a - заданные числа R, kN:

.

3 т и п. A, B, p, q - заданные числа R. Квадратный трехчлен x²+px+q не имеет действительных корней.

Интегрирование проводится путем выделения полного квадрата в знаменателе: x²+px+q= и последующей заменой т.е. Первый интеграл при помощи замены t²+q-p²/4=z приводится к табличному (формула 2), второй является табличным (формула 15).

Пример:

4 т и п. , A, B, p, q -заданные числа R, x²+px+q не имеет действительных корней.

Интегрирование этой рациональной дроби содержится в [2. c.305].

16.1.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие

Пусть знаменатель правильной рациональной дроби R(x)= может быть представлен в виде Q_n(x)=(x-a₁)...(x-a_l)(x-b)^k(x²+px+q) (множителей вида (x-b)^k , (x²+px+q) может быть несколько), где a₁,...a_l,b, q, p - заданные числа R, kN, трехчлен x²+px+q не имеет действительных корней.

Тогда R(x) представляется в виде суммы простейших дробей 1-3 типов: R(x)= , где A₁, ..., A_l, B₁,...,B_k, M, N - неизвестные коэффициенты, которые находятся путем приведения суммы справа к общему знаменателю и последующего приравнивания полученного числителя к P_m(x). Доказательство представлено в [3. c.354].

Примеры: 1)

2) 3)

Два метода нахождения коэффициентов в разложении рассмотрим на примере.

Пример: I= Поскольку

(см. пример в разд. 16.1.1), то

I=(x+1)dx+ Правильную рациональную дробь под интегралом представим в виде суммы простейших:

3x+2=A(x-2)+B(x+1) (16.1)

Первый метод - метод неопределенных коэффициентов, заключается в приравнивании коэффициентов при одинаковых степенях х в (16.1):

Второй метод - метод частных значений - заключается в подстановке значений х в (16.1), в первую очередь корней знаменателя:

Окончательно имеем I=