Комплексные числа

13.1.Алгебраическая форма к.Ч.,его изображение на комплексной плоскости

К понятию комплексного числа приходят при рассмотрении уравнения z²+1=0. Отсутствие действительных чисел, ему удовлетворяющих, приводит к необходимости введения нового условного числа - мнимой единицы i, определяемой равенством i²=-1. Тогда z=i-решения уравнения.

О: Комплексным числом (к.ч.) называют выражение x+iy, где x,y R,

i²=-1, (i=-1) - мнимая единица 

Такая форма называется алгебраической формой записи к.ч., х называют действительной (Re), y-мнимой (Im) частями к.ч. Обозначим x+iy=z. Тогда x=Rez,y=Imz. К.ч. z=yi(при х=0) называется чисто мнимым. Множество всех комплексных чисел обозначают C={z:z=x+iy,x,yR},(RC).

Равенство к.ч. z₁=x₁+iy₁ и z₂=x₂+iy₂: z₁= z₂ x₁= x₂, y₁= y₂.

Н

Y

улем называется к.ч. z=x+iy=0 при x=y=0. Изображается к.ч. z=x+iy точкой M(x,y) плоскости XOY или радиус - вектором ОМ т.М (рис. 13.1). Такая плоскость называется комплексной, ОХ - действительной, OY – мнимой осями.

Числа z=x+iy и z=x - iy называются комплексно-сопряженными

Например, z=-3+2i и z=-3-2i.

13.2. Действия над к.Ч. В алгебраической форме

1) Пусть z₁=x₁+iy₁, z₂=x₂+iy₂. С л о ж е н и е к.ч.: z₁+

+ z₂=(x₁₊x₂)+i(y₁+y₂).

2) В ы ч и т а н и е к.ч.: z=z₁-z₂  z+z₂=z₁. Используя сложение к.ч., имеем z₁-z₂=( x₁-x₂)+i(y₁-y₂).

С умму и разность к.ч. можно изобразить геометрически на комплексной плос-кости, используя правило сложения и вычитания векторов (рис.13.2):

O M={z₁+z₂}=OM₁+ OM₂, ON= {z₁-z₂}=OM₁ - OM₂=М₂-М₁

3) У м н о ж е н и е к.ч.: z ₁z₂=(x₁+iy₁)(x₂+iy₂)=( x₁x₂- y₁y₂)+i(x₁y₂+ x₂ y₁).

Таким образом, при умножении к.ч. скобки

раскрываются по правилу умножения многочленов.

Пример: (3-5i)(2+3i)=6+9i-10i-15i²=(6+15)-i=21-i.

4

Рис. 13.2

) Деление к.ч.: z^.z₂=z₁, z₂0. Умножим z^.z₂=z₁

на z₂, затем поделим на действительное число z₂^.z₂=x₂²+y₂², тогда

Пример:

1 3.3. Тригонометрическая и показательная форма к.Ч.

И зобразим к.ч. z=x+iy радиус-вектором OM на комплексной плоскости (рис.13.1). Назовем |OM|=r=|z| модулем к.ч., угол между осью OX и радиус-вектором ОМ, отсчитываемый в положительном направлении, = =(OX,OM)=Argz - аргументом к.ч. Очевидно, что Argz определяется неоднозначно. Главным значением Argz назовем argz, удовлетворяющее неравенствам 0argz2 или -argz.Тогда Argz=argz+2k,kZ

Отметим, что для z=0 аргумент не определен. Из OMN (рис.13.1) имеем:

x=rcos, y=rsin, (13.1)

т.е. z=x+iy представляется в виде z=r(cos +isin).

Такая форма записи называется тригонометрической формой к.ч.

При переходе от алгебраической к тригонометричекой используем

формулы (13.1) и соотношения .

Пример: z=1-i записать в тригонометрической форме.

(Для нахождения  можно также использовать равенства tg=-1 и z=1-i).

Введем обозначение, называемое ф о р м у л о й Э й л е р а :

e^i=cos+isin.

Тогда получим показательную форму записи к.ч.: z=re^i. В примере z=

Очевидно, что два комплексных числа в тригонометричекой или показательной форме z₁=r₁e^i1, z₂=r₂e^i2 равны тогда и только тогда^., когда |z₁|=|z₂|, Argz₁=Argz₂+2k, k Z.