Смена порядка интегрирования.

Любую прямоугольную таблицу можно суммировать сначала по строкам, и затем сложить все полученные результаты, а можно сначала по столбцам. Но в итоге всё равно получится сумма всех элементов. Подобное есть и для двойных интегралов. Можно разбить поверхность на сечения вдоль оси , а можно в перпендикулярном направлении, вдоль . Для прямоугольной области:

= .

Проблема возникает в том случае, когда область не прямоугольная. Там так просто заменить интегралы наоборот уже не получится, ведь границы внутреннего зависят от внешней переменной. В этом случае надо заново рассмотреть (с помощью чертежа) поведение одной переменной в зависимости от другой. Можно провести не вертикальные, а горизонтальные отрезки, и найти их пересечения с областью определения. Теперь нужны не верхняя и нижняя граница, а левая и правая.

Пример. Сменить порядок интегрирования .

Сначала построим чертёж. Закрасим область под параболой. Это область определения D функции двух переменных.

Глобальные границы по от 0 до 1, так как ниже 0 или выше 1 вообще нет точек этой фигуры Теперь надо узнать, от какой до какой абсциссы будет проходить горизонтальный отрезок внутри фигуры. Нужно границу записать с помощью обратной функции: . Горизонтальная линия чем выше, тем позже начинается, а именно от линии , а заканчивается всё время при .

Итак, = .

Вычисление тройных интегралов.

Пример. Вычислить интеграл где D куб .

Решение. Здесь 3 вложенных действия: .

Сначала вычислим первообразную по и применим формулу Ньютона-Лейбница по , = .

После этого вычислим первообразную по :

= = = = .

Замечание. Тройные интегралы тоже могут быть по сложной области, а не параллелепипеду или кубу. Во внутреннем интеграле (по переменной ) в этом случае будет зависимость уже от обеих внешних переменных, а именно . Примеры - на практике.

Приложения кратных интегралов.

Если то при вычислении интеграла получится просто площадь области D (если двойной интеграл) или объём области (если тройной интеграл). Физический смысл: если плотность равна 1, то масса как раз и равна объёму.

Для сравнения, для определённых интегралов было то же самое, только там получалась длина отрезка: .

1) Вычисление площадей фигур (двойной интеграл).

2) Вычисление объёмов тел (тройной интеграл).

Примеры с будут чуть позже, после изучения полярных и сферических координат.

3) Площадь поверхности.

Формула площади явно заданной поверхности:

.

Доказательство. Разобьём область определения на прямоугольники небольшого размера, со сторонами и . Над таким прямоугольником есть часть поверхности, за счёт малости размера она очень близка к касательной плоскости. Рассмотрим параллелограмм на касательной плосоксти и вычислим его площадь. Его стороны это векторы и . Рассмотрим подробнее, какие у них координаты.

направлен по касательной в сечении, параллельном оси , то есть тангенс угла наклона для него это . Тогда его координаты: = . Аналогично вектор расположен в сечении вдоль оси , его координаты , если вынести дельта, то это . Площадь параллелограмма вычисляется с помощью векторного произведения, она равна модулю векторного произведения (вспомните 1 семестр, векторная алгебра и геометрия).

= , модуль этого вектора: .

Вспомним, что мы вынесли за скобку коэффициенты и . Поэтому

в интегральных суммах получается . Тогда при переходе к пределу, будет интеграл: , где D это область определения в горизонтальной плоскости (то есть область, над которой расположена поверхность).