Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники

Приходовский М.А.

Математика

Учебное пособие (курс лекций) 2 семестр

для специальности 09.03.03

прикладная информатика в экономике

Томск

ТУСУР

2017

Электронное пособие составлено и скорректировано с учётом реального проведения лекций на ФСУ в гр. 446-1-2 весной 2017 года.

Оглавление по темам

ГЛАВА 1. ИНТЕГРАЛЫ. 5

§1. Определения и основные методы. 5

§2. Интегрирование рациональных дробей. 11

§3. Интегрирование иррациональностей и тригонометрических выражений. 17

§4. Определённый интеграл и его приложения. 27

§5. Несобственный интеграл. 38

§6. Кратные интегралы. 46

ГЛАВА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 60

§ 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. 60

§ 2. Дифференциальные уравнения порядка n. 70

§ 3. Линейные дифференциальные уравнения порядка n. 74

§ 4. Системы дифференциальных уравнений. 87

§ 5. Комплексные числа, их связь с дифф.уравнениями. 90

ГЛАВА 3. РЯДЫ.

§ 1. Числовые ряды.

§ 2. Функциональные ряды.

§ 3. Степенные ряды.

§ 4. Ряды Тейлора и Лорана.

§ 5. Ряды Фурье.

Оглавление по номерам лекций

Лекция 1. 14.02.2017 5 - 15

Лекция 2. 21.02.2017 16 - 26

Лекция 3. 28.02.2017 27 - 38

Лекция 4. 07.03.2017 38 - 49

Лекция 5. 14.03.2017 50 - 59

Лекция 6. 21.03.2017 60 - 69

Лекция 7. 28.03.2017 70 - 79

Лекция 8. 04.04.2017 79 - 89

Лекция 9. 11.04.2017 90 - 101

Лекция 10. 18.04.2017

Лекция 11. 25.04.2017

Лекция 12. 02.05.2017

Лекция 13. 16.05.2017

Лекция 14. 23.05.2017

Лекция 15. 30.05.2017

Приложение 1. Вопросы на доказательства (для билетов).

Приложение 2. Мелкие и устные вопросы на знание теории

(для коллоквиумов).

Приложение 3. Задачи из лекций.

ЛЕКЦИЯ № 1. 14. 02. 2017

Глава 1. Интегралы.

§1. Определения и основные методы.

Определение. Если , то называется первообразной от функции .

Свойство. Если первообразная, то (для любого ) тоже является первообразной для той же самой функции .

Это легко доказать, действительно, = = .

Таким образом, первообразных бесконечно много, то есть, если поднять или опустить на любую высоту график , снова будет первообразная.

Свойство. Если и две различные первообразные функции , то .

Доказывается так: , то есть .

Определение. Множество всех первообразных от одной и той же функции называется неопределённым интегралом этой функции.

Обозначение: .

Свойства линейности.

1.

2.

_{Замечание.}

Для произведения свойство не существует. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть любые 2 простейшие функции, например , . Тогда:

= = , в то же время

= = .

Впрочем, можно даже рассмотреть произвольную, . Тогда ,

= .

_{Таблица основных интегралов.}

( )

;

Объяснение причины возникновения модуля в . Функция существует только на правой полуоси, тогда как имеет две ветви, на правой и левой полуоси. Получалось бы противоречие, что производная от несуществующей функции есть на левой полуоси. Функция является чётным продолжением на левую полуось, и именно она там является первообразной для при .

Методы интегрирования.

1. Преобразования подынтегральных выражений.

Различные преобразования, например, арифметические (домножить и поделить, прибавить и отнять), выделение полного квадрата, разбиение многочлена на множители, преобразования по тригонометрическим формулам, и т.д. нередко помогают упростить исходное выражение, разбить его на несколько более простых слагаемых, которые уже сводятся к интегралам табличного типа. На практике рассмотрены разнообразные примеры на виды этих преобразований. Часто нужно домножить и поделить, чтобы сформировать готовое выражение, являющееся производной от известной функции. Например,

Пример. = = .

Когда сформировали выражение , а заодно поделили на 3 перед интегралом, теперь уже точно невозможно перепутать или забыть коэффициент.

Аналогично, допустим, что мы помним, что . Тогда можно постараться сформировать готовое выражение типа внутри интеграла. Тем самым мы автоматически докажем, что при интегрировании такое выражение на этот коэффициент делится, а не домножается:

Пример. = = .

Тригонометрические преобразования:

Пример. Вычислить .

Решение. Применим формулу понижения степени.

= = =

= .

Пример. Вычислить .

Решение. = = =

= .

Ответ. .

2. Замена переменной.

Бывают такие случаи, когда функция имеет вид , то есть явно видно, что всё выражение зависит от какого-то однотипного блока, например всё выражается через или . Делается замена на , только нужно не забыть пересчитать , потому что , если только замена не является простым линейным сдвигом .

Пример. Вычислить .

Решение. Сделаем замену , тогда , , .

= = = .

Обратная замена: = = .

Более того, область определения исходной функции из-за наличия в ней квадратного корня, точка 0 не входит в область определения, так как корень там и в знаменателе, так что знак модуля в ответе является излишним, ответ можно записать так: .

Если в функции присутствуют корни разного порядка, например и , то замена должна происходить через корень порядка НОК (наименьшее общее кратное). Причина в том, что именно при этом все корни переводятся в целые степени от .

Если , тогда: , .

Объяснение, почему все корни выразятся через целые степени :

= ,

= .