Суждения с модальностями

Модальностями (от латинского слова modus – способ) в логике называют аспекты истинности суждения. В самом деле, некоторое истинное суждение А может быть истинно всегда или время от времени, или завтра – это временная модальность, или оно должно быть истинно, начиная с того момента, когда об этом заявило начальствующее лицо – это деонтическая модальность или модальность долженствования, или оно вообще может быть истинно или истинно в действительности или не может не быть не истинно по логическим причинам – в этом случае перед нами истинностные модальности. В настоящем разделе нас будут интересовать только истинностные модальности, а именно такие, которые характеризуют истинность суждений словами необходимо, действительно и возможно. При построении суждения эти слова играют роль префикса:

Возможно, что каждый школьник научится умножать трёхзначные числа в уме.

Необходимо, что все, кто прочитал учебник по логике до конца, сдадут зачёт.

Префиксы «возможно» и «необходимо» читаются здесь как «возможно истинно, что А» и «необходимо истинно, что А». Иногда модальность может быть выражена в языке как свойство предмета или другого свойства, а не как характеристика суждения:

Возможный результат моего опыта лучше не трогать руками.

Необходимым свойством чеснока является резкий запах.

Эти предложения, могут быть, однако, переформулированы так, чтобы модальность стала явной. Следующие предложения до некоторой степени синонимичны исходным:

Возможно, что результат моего опыта лучше не трогать руками.

Необходимо, что чеснок имеет резкий запах.

Логические системы с модальностями создаются для анализа самых разных контекстов естественного языка. Некоторые из них представлены в таблице:

Модальность	Модализированные суждения
Истинностная	Необходимо, что А, возможно, что А, действительно, что А.
Физическая (каузальная)	В силу тех или иных (нелогических) закономерностей необходимо, что А, в силу тех или иных (нелогических) закономерностей возможно, что А.
Временнáя	Было так, что А, будет так, что А, всегда было так, что А, всегда будет так, что А.
Эпистемическая	Субъект i знает, что А, субъект i полагает (верит), что А.
Деонтическая	Обязательно А, разрешено А, запрещено А.
Контрфактическая	Если бы было А, то было бы и В.
Динамическая	Всякое выполнение программы  приводит к состоянию, в котором истинно А, по крайней мере одно выполнение программы  приводит к состоянию, в котором истинно А.

Договоримся теперь о введении следующих обозначений:

□А – «необходимо, что А»,

А – «действительно, что А»,

◊А – «возможно, что А».

Используя эти обозначения, а также логические связки, мы сможем выражать связи и зависимости между различными модализированными суждениями. Рассмотрим сначала несколько простых примеров:

□А – необходимо, что А истинно,

◊А – возможно, что А истинно,

□А – не необходимо А,

□А – необходимо, что не-А,

□А – не необходимо, что не-А,

◊А – невозможно А;

◊А – возможно, что не-А,

◊А – не возможно, что не-А.

Возможны также и различные итерации (повторения) модальностей и отрицаний:

□□р, □◊□р, ◊□р и т. п.

Наконец, возможны самые ращенные комбинации модальностей и связок:

(□А ⇔ ◊А) – необходимость А эквивалентна невозможности не-А;

(А ⇒ ◊А) – если А истинно, то А возможно;

(◊А ⇒ ◊◊А) – если А возможно, то возможно, что оно возможно;

□(А ⇒В) ⇒(□А ⇒□В) – если необходимо, что из А следует В, то если В необходимо, то и В необходимо.

Представим теперь структуру некоторых выражений естественного языка средствами модальной логики:

Если возможно, что чеснок имеет приятный запах, то возможно, что его не испугаются вампиры.

(◊А ⇒ ◊В)

Если необходимо, чтобы все студенты имели студенческий билет, то из этого, возможно, следует, что наличие билета способствует усвоению знаний.

◊(□А ⇒ В)

Возможно, что если я потеряю свою шляпу, то она попадёт в плохие руки и обязательно будет использован для достижения ненадлежащих целей, вследствие чего, возможно, будет конфискована правоохранительными органами и тогда неизбежно навсегда исчезнет в архивах.

◊(А ⇒ (В  □С  ◊(С ⇒ (D  □Е))))

Если рассматриваемое положение имеет необходимый характер, а из него вытекает, что мы правильно готовили грядки под огурцы, то это так необходимо образом.

(□А ⇒ ((А ⇒ В) ⇒ □В))