Упражнения

1. Постройте таблицы истинности для следующих формул.

1. А ⇔ А

2. (А  А) ⇔ А

3. (А  B) ⇔ (А  В)

4. (С ⇒ (С  А)) ⇎ А

5. (А ⇒ (В ⇒ С)) ⇒ (С ⇒ А)

6. (А  (В  С)) ⇒ (C ⇔ А)

7. (В ⇔ (С  А))  (В ⇔ С)

8. (((В  С) ⇒ (D ⇒ С)) ⇒ А)  В

9. С ⇒ ((С  В) ⇒ А)

10. ((С ⇒ А)  (В ⇒ А)) ⇒ ((С  В) ⇒ А)

2. С помощью таблиц истинности обоснуйте тождественно-истинный характер следующих формул.

1. А ⇔ А

2. (А  А) ⇔ А

3. А ⇔ А

4. А ⇒ А

5. ((А  В)  А) ⇔ А

6. ((А  В)  А) ⇔ А

7. ((А ⇒ В)  (В ⇒ А)) ⇔ (А ⇔ В)

8. ((А  В)  (А  В)) ⇔ (А ⇎ В).

3. С помощью аналитических таблиц покажите, что следующие формулы являются тождественно-истинными

1. А ⇒ (В ⇒ А)

2. (А ⇒ В) ⇒ (А ⇒ В)

3. (А ⇒ В) ⇔ (А  В)

4. (А  В) ⇔ (А  В)

5. (А  В) ⇔ (А  В)

6. (А ⇒ (В ⇒ С)) ⇒ ((А ⇒ В) ⇒ (А ⇒ С))

7. (В ⇒ А) ⇒ ((С ⇒ А) ⇒ (А ⇒ (В ⇒ С)))

8. ((В ⇒ А)  (С ⇒ А)) ⇒ ((В  С) ⇒ А).

4. Ниже представлены фрагменты работы «О смысле и значении» одного из основоположников современной логики Готтлоба Фреге (1848–1925). Ознакомьтесь с ними и попытайтесь дать ответ на вопрос о том, почему Фреге объявляет значением (денотатом) предложения не описываемую предложением ситуацию (факт или положение дел в мире), а его истинностное значение.

… под «знаком» и «именем» я понимаю любое обозначение, представляющее собою собственное имя, чьим значением, стало быть, является определенный предмет (в самом широком смысле этого слова), но не понятие и не отношение, на которых я подробнее остановлюсь в другой статье. Обозначение единичного предмета может также состоять из нескольких слов или других знаков. Пусть каждое такое обозначение для краткости носит название собственного имени.

Смысл собственного имени понимает каждый, достаточно знающий язык или совокупность обозначений, к которой принадлежит имя …; тем самым, однако, значение, если оно имеется, освещено все же только с одной стороны. Всестороннее познание данного значения состояло бы в том, что мы могли бы для каждого заданного смысла указать, относится ли он к этому значению. Этого мы никогда не достигаем.

Связь, существующая, как правило, между знаком, его смыслом и его значением, такова, что знаку соответствует определенный смысл, а этому последнему – определенное значение, тогда как одному значению (одному предмету) соответствует не единственный знак. … Быть может, следует признать, что всякое грамматически правильно построенное выражение, выполняющее роль собственного имени, всегда имеет смысл. Однако это не значит, что смыслу всегда соответствует некоторое значение. Слова «самое удаленное от Земли небесное тело» имеют некий смысл; однако весьма сомнительно, чтобы они имели значение. … Отсюда следует, что если мы понимаем смысл, это еще не значит, что мы с уверенностью располагаем и некоторым значением.

…

Значение собственного имени – это сам предмет, обозначенный этим именем; представление, которое при этом у нас возникает, вполне субъективно; между значением и представлением можно поместить смысл, который, в отличие от представления, хотя и не является субъективным, все же не есть сам предмет.

…

До сих пор мы рассматривали смысл и значение только таких выражений, слов, знаков, которые нами были названы собственными именами. Поставим теперь вопрос о смысле и значении целого утвердительно-повествовательного предложения. Такое предложение содержит некоторую мысль… Как следует рассматривать эту мысль – как смысл предложения или как его значение? Предположим, предложение имеет значение. Если мы заменим в нем какое-либо слово другим словом, имеющим то же значение, но другой смысл, то это не должно иметь никакого влияния на значение предложения. Однако мы видим, что мысль в этом случае меняется; так, например, мысль, содержащаяся в предложении «Утренняя звезда есть тело, освещаемое Солнцем», отлична от мысли, имеющейся в предложении «Вечерняя звезда есть тело, освещаемое Солнцем». Тот, кто не знает, что Вечерняя звезда есть Утренняя звезда, мог бы считать одну мысль истинной, а другую ложной. Стало быть, мысль не может быть значением предложения, напротив, мы должны считать ее смыслом предложения. Но как же обстоит дело со значением? Имеем ли мы право вообще ставить о нем вопрос? Быть может, предложение, взятое как целое, имеет только смысл, но не имеет значения? …

Но почему же мы хотим, чтобы каждое собственное имя имело не только смысл, но и значение? Почему мысль не удовлетворяет нас? Потому и постольку, почему и поскольку для нас важно истинностное значение мысли. Так бывает не всегда. Например, когда мы воспринимаем эпическое произведение, нас очаровывает, кроме благозвучия языка, только смысл предложений и вызываемые ими представления и чувства. Если бы мы поставили вопрос об истине, мы потеряли бы эстетическое наслаждение и перешли к научному исследованию. … Итак, стремление к истине – вот что всегда побуждает нас к переходу от смысла к значению.

Мы видели, что для предложения надо всегда доискиваться значения тогда, когда речь идет о значении составных частей; а это имеет место тогда, и только тогда, когда мы ставим вопрос о его истинностном значении.

Таким образом, мы принуждены признать в качестве значения предложения его истинностное значение. Под истинностным значением – значением истинности предложения я понимаю то, что оно либо истинно, либо ложно. Других значений истинности не бывает. Для краткости я называю одно из этих значений – истиной, истинностью, а другое – ложью, ложностью. На каждое утвердительно-повествовательное предложение, относительно которого ставится вопрос о значении его слов, надо, таким образом, смотреть как на собственное имя, причем на такое, значение которого, если таковое существует, есть либо истина, либо ложь. Эти два предмета признаются – может быть только молчаливо – всяким, кто выносит суждение, кто считает хотя бы что-нибудь истинным; значит, они признаются даже скептиком. …

Если наше предположение, что значение предложения есть его истинностное значение, верно, то последнее должно остаться без изменения, если заменить часть предложения выражением, имеющим то же значение, но другой смысл. Но так дело и обстоит. … Что же еще, кроме значения истинности, можно найти такого, что, будучи присуще самым общим образом каждому предложению, относительно которого ставится вопрос о значении его составных частей, оставалось бы без изменения при замене указанного рода?

Далее. Если значение истинности предложения есть его значение, то, с одной стороны, все истинные предложения имеют одно и то же значение, а с другой стороны, одно и то же значение имеют и все ложные предложения. Отсюда видно, что в значении предложения всё единичное оказывается стертым. Стало быть, мы никогда не можем довольствоваться одним только значением предложения; однако и мысль сама по себе не составляет познания; таковым является мысль вместе со своим значением, то есть со своим истинностным значением. На процесс суждения можно смотреть как на переход от мысли к значению ее истинности.²²