Метод аналитических (семантических) таблиц

Ниже будет описана эффективная процедура, дающая ответ на вопрос, является ли данная формула тождественно-истинной. Эффективность означает, что процедура даёт ответ для каждой формулы в конечное число шагов.

Идея метода аналитических такова: тождественную истинность формулы мы будем доказывать опровержением допущения о ее ложности. В этом доказательстве от противоположного, табличные правила организуют систематический поиск контрпримеров для допущения о ложности. Таблицу легко получить, проведя на листе бумаге вертикальную черту. Справа от черты мы будем помещать формулы, которые, в соответствии с правилами, которые будут приведены ниже, оцениваются как ложные. Слева от черты, напротив, будут помещены формулы, оцениваемые как истинные.

Пусть нам необходимо выяснить, является ли некоторая формула А тождественно-истинной. Для этого записываем ее справа от черты. Это будет означать, что она ложна – в этом состоит наше допущение доказательства от противоположного. Затем разворачивается процедура табличного построения, которая протекает по правилам редукции и порождает множество таблиц.

Табличные правила (правила редукции). В формулировках табличных правил мы будем использовать следующие обозначения:

– стрелки будут обозначать переход от одного состояния некоторой таблицы к другому или от одной таблицы к другой;

– А – редуцируемая на данном шаге формула;

–  – множество (возможно пустое) нередуцируемых на данном шаге формул, находящихся в левой части таблицы;

–  – множество (возможно пустое) других нередуцируемых на данном шаге формул, находящихся в правой части таблицы.

Таблицы нумеруются в порядке, который будет определен процедурой редукции.

Правила редукции делятся на «правые» и «левые». Формулируем их попарно для каждой связки. За каждым правилом следует пояснение.

Правило «отрицание справа». Если А имеет вид В и находится в правой части таблицы с номером n, то вычеркиваем А и записываем В в левую часть этой же таблицы:

(п) (п)

 В,  В,  

Переход обосновывается определением истинности для В: если В ложно, то В истинно.

Правило «отрицание слева». Если А имеет вид В и находится в левой части таблицы, то вычеркиваем А и записываем В в правую часть этой же таблицы.

(п) (п)

В,    В, 

Истинность В означает ложность В.

Правило «конъюнкция справа». Если А имеет вид (В  С) и находится в таблице с номером n, то вычёркиваем всю эту таблицу и переходим к рассмотрению двух таблиц с номерами n.1 и n.2, а таблицу n вычеркиваем. При этом

в n.1 записываем слева , а справа В, .

в n.2 записываем слева , а справа С, .

(n)

 (В  С), 

(n.1) (n.2)

 В,   С, 

В самом деле, ложность (В  С) означает, что либо В ложно, либо С ложно, либо оба они ложны. Достаточно рассмотреть первые два случая, что соответствует двум подтаблицам. Прочие же формулы из таблицы n переходят в подтаблицы n.1 и n.2 с теми же значениями, т. е. слева – налево, справа – направо.²¹

Правило «конъюнкция слева». Если А имеет вид (В  С) и находится в левой части таблицы, то вычеркиваем А и записываем в эту же часть таблицы В и С.

(n) (n)

(В  С),   В, С,  

Истинность (В  С) равносильна истинности В и истинности С.

Правило «слабая дизъюнкция справа». Если А имеет вид (В  С) и находится в правой части таблицы, то вычеркиваем (В  С) и записываем в ту же часть таблицы В и С.

(n) (n)

 (В  С),   В, С, 

(В  С) ложно когда В ложно и С ложно.

Правило «слабая дизъюнкция слева». Если А имеет вид (В  С) и находится в левой части таблицы n, то вычёркиваем эту таблицу переходим к рассмотрению таблиц n.1 и n.2, а таблицу n вычеркиваем. При этом:

записываем в n.1 слева В, , а справа – 

записываем в n.2 слева С, , а справа – .

(n)

(В  С),  

(n.1) (n.2)

В,   С,  

Истинность (В  С) равносильна истинности по крайней мере одной из формул В и С. К рассмотрению каждого из этих случаев мы и переходим в подтаблицах. Прочие формулы исходной таблицы переходят в новые таблицы с тем же значением.

Правило «строгая дизъюнкция справа». Если А имеет вид (В ⇎ С) и находится в правой части таблицы n, то вычёркиваем эту таблицу переходим к рассмотрению таблиц n.1 и n.2, а таблицу n вычеркиваем. При этом:

записываем в n.1 слева В, С, , а справа – ,

записываем в n.2 слева , а справа – В, С, .

(n)

 (В ⇎ С), 

(n.1) (n.2)

В, С,    В, С, 

В самом деле, ложность (В ⇎ С) равносильна либо одновременной истинности В и С, либо их одновременной ложности. К рассмотрению каждого из этих случаев мы и переходим в подтаблицах. Прочие формулы исходной таблицы переходят в новые таблицы с тем же значением.

Правило «строгая дизъюнкция слева». Если А имеет вид (В ⇎ С) и находится в левой части таблицы n, то вычёркиваем эту таблицу переходим к рассмотрению таблиц n.1 и n.2, а таблицу n вычеркиваем. При этом:

записываем в n.1 слева В, , а справа – С, ,

записываем в n.2 слева С, , а справа – В, .

(n)

(В ⇎ С),  

(n.1) (n.2)

В,  С,  С,  В, 

Действительно, истинность (В ⇎ С) равносильна либо случаю, когда В истинно, а С ложно, либо случаю, когда С истинно, а В ложно. К рассмотрению каждого из этих случаев мы и переходим в подтаблицах. Прочие формулы исходной таблицы переходят в новые таблицы с тем же значением.

Правило «импликация справа». Если А имеет вид (В ⇒ С) и находится в правой части таблицы, то вычеркиваем А и записываем В в левую часть таблицы, а С – в правую часть.

(n) (n)

 (В ⇒ С),  , В С, 

(В ⇒ С) ложно, когда В истинно, а С ложно.

Правило «импликация слева». Если А имеет вид (В ⇒ С) и находится в левой части таблицы n, то вычёркиваем эту таблицу и переходим к рассмотрению таблиц п.1 и n.2. При этом:

записываем в n.1 слева , а справа – В, 

записываем в n.2 слева С, , а справа – .

(n)

(В ⇒ С),  

(n.1) (n.2)

С,    В, 

Истинность (В ⇒ С) означает, что либо В ложно, либо С истинно, либо то и другое одновременно. Достаточно рассмотреть первые два условия, что мы и делаем в подтаблицах. Прочие формулы исходной таблицы переходят в новые таблицы с теми же значениями.

Правила «эквиваленция справа» и «эквиваленция слева» зеркальны относительно правил «строгая дизъюнкция слева» и «строгая дизъюнкция справа» соответственно. Читатель может сформулировать их самостоятельно.

Таблица называется замкнутой, если существует формула В, находящаяся одновременно в правом и левом ее столбцах. В замкнутой таблице процесс применения правил редукции останавливается.

Табличное построение. Табличное построение для формулы А возникает при выполнении последовательности шагов:

Шаг 1. Записываем А справа в таблицу, нумеруемую как 1.

Шаг 2. Применяем одно из «правых» правил в зависимости от вида А.

Шаг 3. В каждой из получившейся после шага 2 таблиц применяем одно из правил редукции.

Действуем далее до тех пор, пока на некотором шаге n построения обнаружится, что ни в одной таблице порожденной в ходе построения множества таблиц нельзя уже применить правил редукции. Это означает, что всякая таблица Т данного множества или (а) замкнута, или (б) не имеет формул, которые могут быть редуцированы.

Критерий тождественной истинности формулы А: Если табличное построение для А остановилось и всякая невычеркнутая таблица порожденного множества таблиц замкнута, то формула А общезначима. Содержательно это означает, что предположение о ложности А приводит к противоречиям при разборе всех возможных частных случаев.

Приведём несколько примеров (номера таблиц, где возможно, опускаем).

Рассмотрим тавтологию, имеющую название «закон Пирса»: ((А  В)  А)  А.

(1)

((А  В)  А)  А

(А  В)  А А (⇒справа)

(1.1) (1.2)

А А (А  В) А (⇒слева)

замыкание

(1.2)

А В, А (⇒справа)

замыкание.

Итак, здесь все невычеркнутые таблицы замкнулись, что говорит нам о том, что предположение о ложности закона Пирса несостоятельно.

Рассмотрим тавтологию, показывающую связь импликации и слабой дизъюнкции –

(А ⇒ В) ⇔ (А  В).

(1)

(А ⇒ В) ⇔ (А  В)

(1.1) (1.2)

(А ⇒ В) (А  В) (А  В) (А ⇒ В) (⇔ справа)

(А ⇒ В)  А, В ( справа) (А  В), А В (⇒ справа)

(А ⇒ В), А В ( справа) (1.2.1) (1.2.2)

А, А В В, А В ( слева)

(1.1.1) (1.1.2) замыкание

В, А В А А, В (⇒ слева) А А, В ( слева)

замыкание замыкание замыкание

Здесь также получены замыкания во всех невычеркнутых таблицах.

Рассмотрим теперь пример формулы, которая не является тождественно истинной:

(А ⇒ (В  С)) ⇒ (В ⇒ А)

(1)

(А ⇒ (В  С)) ⇒ (В ⇒ А)

(А ⇒ (В  С)), В А (⇒ справа, 2 раза)

(А ⇒ (В  С)), А В ( справа и слева)

(1.1) (1.2)

В  С, А В А А, В (⇒ слева)

замыкание

(1.1.1) (1.1.2)

В, А В С, А В ( слева)

замыкание

Одна невычеркнутая таблица осталась незамкнутой – (1.1.2). По ней легко определить, при каких условиях исследуемая нами формула окажется ложной. Для этого необходимо, чтобы А и С приняли значение И, а В – значение Л. Построим соответствующую строку таблицы истинности для формулы (А ⇒ (В  С)) ⇒ (В ⇒ А):

А	В	С	А	В	В  С	А ⇒ (В  С)	В ⇒ А	(А ⇒(В  С)) ⇒ (В ⇒ А)
…
И	Л	И	Л	И	И	И	Л	Л
…

Мы видим, что формула здесь принимает значение Л.

Итак, для всякой формулы, которая представляет нам структуру сложного суждения, можно решить вопрос о том, является она тождественно-истинной или нет. Любопытно, что из бесконечного числа тождественно-истинных формул не все содержательно интересны. Мы приводили примеры формул, которые соответствуют закону исключённого третьего и закону противоречия – (А  А) и (А  А) – их содержательная ценность очевидна. Но, например, о чём говорит рассмотренный выше закон Пирса, не совсем понятно. Дело в том, что все тождественно-истинные формулы эквивалентны друг другу, т. е., в каком-то смысле, выражают одно и то же, но разными способами. Как это происходит читатель может выяснить, познакомившись с более специальной литературе по логике, подробно освещающей логику высказываний (см. список литературы). Важно, тем ни менее, понимать, что отвергнув хотя бы одну тождественно-истинную формулу как «не интересную», мы тем самым, лишимся и всех остальных.