Упражнения

1. Сформулируйте суждения, противоречащие, противоположные и подчинённые (где это возможно) данным.

1. Ни один матрос не выписывает «Times» на дом.

2. Все садовники читают прессу в библиотеке.

3. Ни одна учащаяся балетной школы не станет читать журнал «Охота и рыболовство».

4. Все кошки опасаются встречи с морской свинкой в неформальных обстоятельствах.

5. Тюлень Роберт подавляет морских свинок в Верховном суде.

6. Никому из прокуроров не удалось переспорить морскую свинку до её подавления.

7. Панцири некоторых морских черепах резонируют как крышка рояля.

8. Речные черепахи поют только хором

9. Не хуже Монсеррат Кабалье пела вчера наша Тартилла.

10. Те, кто видели тысячу белых страусов, устремившихся на юг, испытали потрясение.

11. Все белые страусы очень заносчивы.

12. Перья некоторых страусов по белизне соперничают с лебедиными.

2. Сформулируйте суждения противоречащие и совместимые с данными.

1. Некоторые члены общества борьбы с курением сами тайком курят.

2. Некоторые генералы не читают журнал «Cosmopolitan».

3. Некоторые поступки некоторых монархов свидетельствуют об их участии в интригах.

4. Некоторые озёрные черепахи Псковской области не знают местных народных напевов.

5. Вчера здесь выступали солистки некоторых народных хоров.

6. Прекрасно были исполнены некоторые арии из опер Верди.

7. Некоторые юристы никогда не были на море.

8. Некоторые из них годами сидят за бумагами.

9. Дольше всех просиживают в своих кабинетах некоторые полосатые морские свинки.

10. Некоторым моим друзьям пение этих певцов не понравилось.

11. Некоторые из них вообще плохо разбираются в искусстве.

12. Некоторые произведения народного австралийского композитора Страуса не исполняются в полнолуние.

Логический анализ структуры сложного суждения Логические союзы

Простым суждением мы называем такое, никакая часть которого сама не является суждением. В этом случае легко определить сложное суждение: сложным мы называем такое суждение, которое строится из простых при помощи логических союзов (связок). Логическими союзами будем называть истинностные функции, т. е. такие, которые для каждого набора своих аргументов – истинностных значений «истина» – И и «ложь» – Л, выдают в качестве значения функции снова истинностное значение И или Л. Значение сложного суждения зависит от того, какие логические союзы связывают содержащиеся в нём простые суждения и от значений этих простых суждений.

Логические союзы в какой-то степени являются формальными аналогами союзов и союзных слов естественного языка. Их соответствия друг другу приведём в следующей ниже таблице:

Логический союз	символ	аналог в естественном языке
Конъюнкция		«и», «а», «но», «тогда как», «… при том, что …», запятая и т. п.
Слабая дизъюнкция		«или», «либо», «или ..., или ...», «либо ..., либо …»
Строгая дизъюнкция	⇎
Импликация	⇒	«если ..., то ...»
Эквиваленция	⇔	«…тогда и только тогда, когда…»
Отрицание		«неверно, что», «ложно, что»

Приведём несколько примеров сложных суждений. С помощью конъюнкции образованы следующие суждения:

Никто не обратили на это внимание, а Пётр Петрович обратил.

Письмо пришло, но меня не было дома.

Карася поймали, отрезали хвост.

У одной девочки на носу выросли голубая и розовая ленты¹⁴.

В последнем случае конъюнкция двух суждений имеет вид конъюнкции предметов – так естественный язык экономит место. В развёрнутой форме суждение должно было бы звучать так:

У одной девочки на носу выросла голубая лента и у той же девочки на носу

выросла розовая лента.

С помощью различных видов дизъюнкции образованы суждения:

Эта рыба либо корюшка, либо ряпушка.

Внутри этого устройства звенят болты или гайки.

В последнем случае дизъюнкция снова, как кажется, связывает предметы, а не предложения. В действительности же полная форма этого сужения такова:

Внутри этого устройства звенят болты или внутри него звенят гайки.

Эти суждения имеют вид импликаций:

Если у меня стреляет в ухе, то слышно далеко вокруг.

Если Лондон – столица Парижа, то Париж – столица Рима¹⁵.

Суждение

Фиорелло идёт в кино тогда и только тогда, когда там показывают комедию.¹⁶

содержит эквиваленцию. Кроме того, суждения

Неверно, что слоны умеют летать.

Ложно, что Париж не является столицей Рима.

образованы с помощью отрицания.

Как значение сложного суждения зависит от составляющих его простых суждений? Этот вопрос для теории сложных суждений является центральным, и ответить на него можно, описав работу истинностных функций. Для этого приведём сводную таблицу семантики истинностных функций – логических союзов истинности.

Здесь связываемые союзами суждения (не обязательно простые) будем обозначать как А и В. Кроме того будем использовать скобки, с тем чтобы структура сужения имела однозначный характер.

А	В	(А  В)	(А  В)	(А ⇎ В)	(А ⇒ В)	(А ⇔ В)		А	(А)
И	И	И	И	Л	И	И		И	Л
И	Л	Л	И	И	Л	Л		Л	И
Л	И	Л	И	И	И	Л
Л	Л	Л	Л	Л	И	И

Дадим некоторые пояснения.

Каждое из суждений А и В может быть либо истинным, либо ложным, т. е. принимает одно из значение И или Л, таблица истинности имеет четыре строки, каждая из которых соответствует некоторому сочетанию значений А и В. Каждому такому сочетанию каждый логический союз сопоставляет значение целого выражения, в чём и состоит работа истинностной функции. Иными словами, зная значения А и В, мы для каждого из союзов будем знать значение образованного с его помощью сложного суждения.

Конъюнкция – это соединительный союз, и его семантика такова: конъюнкция двух суждений истинна только в том случае, когда оба эти суждения истинны, а во всех остальных случаях конъюнкция ложна. Именно это мы хотим сказать, утверждая например, что

Письмо пришло, но меня не было дома.

Предположение о том, что это суждение истинно в случае ложности одного из связанного конъюнкцией суждений, очевидно, противоречит намерению говорящего указать на одновременную истинность двух упомянутых фактов.

Дизъюнкция – это разделительная связка. Её назначение состоит как раз в том, чтобы подчеркнуть факт различия значений связываемых суждений. Но слабая и строгая дизъюнкции делают это по разному.

Слабая или неисключающая дизъюнкция истинна при всех комбинациях значений А и В, кроме того, когда оба эти суждения ложны. Строгая или исключающая дизъюнкция истинна только тогда, когда значенияя А и В различны. Рассмотрим наши примеры

Эта рыба либо корюшка, либо ряпушка.

Внутри этого устройства звенят болты или гайки.

Первое суждение, очевидно, предполагает использование строгой дизъюнкции, поскольку если считать, что оно истинно, то это будет означать, что данная рыба обязательно будет либо корюшкой, либо ряпушкой, но не чем-либо другим и уж конечно, не тем и другим вместе. В этом состоит исключающий характер такой дизъюнкции.

Предполагая истинность второго суждения, мы, напротив, допускаем, что внутри устройства могут звенеть как болты, так и гайки, т. е. в нём используется слабая или неисключающая дизъюнкция, допускающая истинность как А, так и В.

Не очень проста для понимания импликация если А, то В, где А носит название антецедента, а В – консеквента. Здесь следует сразу же развести по разные стороны наше привычное представление о «если ... то ...», как о средстве описания причинно-следственных отношений между явлениями, и логическую интерпретацию «если ... то ...». Мы увидим, что последняя адекватна только отрицательному тесту на причинность. В самом деле, если опираться на таблицу истинности для импликации, то суждения

Если 2+2=4, то снег белый,

Если 2+2=5, то снег белый,

Если Лондон столица Парижа, то Париж - столица Рима¹⁷

являются, как это ни покажется парадоксальным, истинными – об этом говорят первая, третья и четвёртая строки таблицы. Но ни в одном и этих случаев мы не видим никакой причинно-следственной связи между антецедентом и консеквентом, иными словами, антецедент истинной в логике импликации не есть причина, а консеквент не есть следствие. Отсюда следует, что система значений логической импликации не может быть использована как формальный позитивный тест для причинно-следственных отношений. И в этом нет ничего удивительного, поскольку, как показало многовековое развитие философского знания, для этих отношений вообще не может быть ни универсальной, ни логической позитивной концепции.

Но зато логика даёт негативный текст на причинность. Он содержится во второй строке таблицы истинности для импликации, а именно, там, где следование из истинного суждения ложного суждения объявляется невозможным. Рассмотрим пример:

Если студент прилежно учится в течение семестра и усердно готовится

к экзамену, то он получает одни «пятёрки».

Здесь указывается на причинно-следственную связь между фактом, описанным в антецеденте и фактом, описанным в консеквенте. Действительно, всем известно, что прилежание и усердная подготовка к экзаменам могут стать одной из причин получения оценки «пять», но, во-первых, не единственной причиной и, во-вторых, не всегда. На экзамене можно переволноваться и вследствие этого провалиться, а кроме того, можно быть просто не семи пядей во лбу, так что прилежание и старание не сдвинут тебя с мёртвой точки. Приводя всего один пример, когда некий прилежный студент Петя усиленно готовился к экзаменам, но не получил «пятёрок», мы опровергаем предположение о том, что прилежание и усердная подготовка к экзаменам являются достаточными причинами для получения «пятёрок». И в этом же случае оказывается ложной соответствующая импликация.

Отрицание не вызывает трудностей. Там, где истинно А, его отрицание ложно, а там, где А ложно, его отрицание, очевидно, истинно.