Два парадокса

Как уже говорилось выше, не всегда понятие, определение которого было дано только номинально, характеризует нечто возможное. Но убедиться в том, что понятие логически пусто – это нетривиальная задача, поскольку для её выполнения необходимо обосновать противоречивость понятия. Сделать это не просто, поэтому те случаи, когда удаётся зафиксировать логическую пустоту того или иного номинально определённого, но не внушавшего подозрений понятия, носят название парадоксов⁹. Рассмотрим два из них.

Парадокс «Брадобрей» сформулировал философ Бертран Рассел:

В некотором городе действует закон, согласно которому брадобрей бреет

тех и только тех горожан, кто не бреется сам, и не бреет никого из тех

горожан, кто бреется сам. Кто бреет брадобрея?

Пытаясь ответить на этот вопрос, мы приходим к парадоксальным результатам. Если брадобрей бреет себя сам, то по определению он не может себя брить. Если же он себя не бреет, то, опять-таки по определению, он должен брить сам себя. Обе гипотезы приводят к противоречию. Отсюда следует вывод: не может существовать брадобрея, который выполнял бы принятый в этом городе закон.

«Парадокс каталогов» можно рассматривать как вариант «Брадобрея».

Все мы знаем, что такое библиотечный книжный каталог. Независимо от того, какой он имеет вид – бумажный или электронный, он перечисляет книги. Таких книжных каталогов в любом университете существует несколько десятков. Можно составить каталог, перечисляющий каталоги книг, т. е. каталог книжных каталогов. Наконец, можно составить каталог всех каталогов университета U.

Назовём каталог нормальным, если он не перечисляет себя и ненормальным – в противоположном случае. Очевидно, что все каталоги, перечисляющие книги являются нормальными, нормальным будет и каталог, перечисляющий книжные каталоги, а вот каталог всех каталогов, конечно, ненормальный.

Составим теперь каталог всех нормальных каталогов университета U. Назовём его каталогом N. Сначала мы поставим в него карточки с названиями всех университетских каталогов книг, затем – карточку с названием каталога книжных каталогов (пусть он такой в университете один). Перед нами на столе остались две карточки. На одной написано «Каталог всех каталогов университета», а на другой – «N». Поскольку каталог всех каталогов ненормален, мы оставляем карточку с его названием в стороне. Чтобы решить, что нам делать с карточкой «N», нужно определить, является ли каталог N нормальным, т. е. не перечисляет ли он сам себя. Поскольку карточка «N» лежит на столе, каталог N себя не перечисляет, он нормален, но не полон, и нам следует вложить карточку «N» в каталог N. Но как только она там окажется, каталог N станет ненормальным. Обнаружив этот факт, мы должны будем немедленно извлечь карточку «N» обратно. Тогда каталог N вновь становится нормальным, хотя и неполным. Раз так, карточку «N» снова следует поместить в каталог N, что снова сделает его ненормальным и т. д.

Очевидно, что каталог всех нормальных каталогов не существует, причём не играет никакой роли количество предметов, которые каталогизируются: в нашем примере их всего несколько десятков. Это значит, что номинально определённое понятие «каталог всех нормальных каталогов университета U» является логически противоречивым