3.5.4 Расчет вала на усталостную прочность

Расчет по переменным напряжениям (на усталостную прочность) валов выполняют как проверочный; он заключается в определении расчетных коэффициентов запасов прочности в предположительно опасных сечениях, предварительно намеченных в соответствии с эпюрами моментов и расположением зон концентрации напряжений. При расчете принимают, что напряжения изгиба изменяются по симметричному циклу, а напряжения кручения  по отнулевому (рис. 3.4). Выбор отнулевого цикла для напряжений кручения основан на том, что большинство валов передает переменные по величине, но постоянные по направлению вращающие моменты.

Рисунок 3.4 – Циклы нормальных и касательных напряжений в валах

Проверку на усталостную прочность производят по величине коэффициента запаса прочности:

, ( 3.12 )

где  коэффициент запаса прочности по нормальным напряжениям;

, ( 3.13 )

где  коэффициент запаса прочности по касательным напряжениям;

, ( 3.14 )

_-1 и _-1  пределы выносливости при изгибе и кручении с симметричным циклом;

; ( 3.15 )

k_ и k_  эффективные коэффициенты концентрации напряжений при изгибе и кручении;

_ и _  масштабные факторы;

_a и _a  амплитуды циклов изменения напряжений при изгибе и кручении:

; ( 3.16 )

; ( 3.17 )

_т и _т  средние напряжения циклов при изгибе и кручении: _т = 0; _т = _а.

_ и _  коэффициенты, учитывающие влияние среднего напряжения цикла на усталостную прочность. Обычно принимают: для среднеуглеродистых сталей _ = 0,10 и _ = 0,05; для легированных сталей _ = 0,30 и _ = 0,10;

[S]  допускаемый (требуемый) запас прочности. Для валов передач рекомендуется [S] ≥ 1,5.

Проверочный расчет на усталостную прочность ведется по длительно действующей номинальной нагрузке без учета кратковременных пиковых нагрузок, которые не влияют на усталостную прочность.

3.6 Пример проектирования и расчета вала

Исходные данные (см. рис. 3.5,а):

T = 200 Нм; d₁ = 50 мм; d₂ = 130 мм;

l₁ = 50 мм; l₂ = 40 мм; l = 150 мм.

Силы в цилиндрической прямозубой передаче

Н;

Н.

Силы в конической прямозубой передаче

Н;

Н;

Н.

Рисунок 3.5 – Расчетная схема вала

Предварительный расчет вала

Определяем ориентировочные диаметры выходных концов вала из условия прочности при кручении:

.

Приняв [] = 25 МПа, вычисляем диаметр выходного конца вала:

м.

Принимаем значение диаметра вала из стандартного ряда d_вых = 34 мм.

Статический расчет вала

Определяем диаметр вала в опасном сечении, так как при работе вал испытывает сложную деформацию изгиба с кручением.

Составляем расчетную схему вала со всеми действующими на него силами (рис. 3.5, б).

Определяем изгибающие моменты в вертикальной М^верт и в горизонтальной М ^гор плоскостях:

Составляем расчетную схему от сил, действующих в вертикальной плоскости. Подшипники заменяем шарнирными опорами: одна подвижная, другая неподвижная (рис. 3.5,в).

Вычисляем величину опорных реакций:

;

;

Н.

;

Н.

Для проверки правильности определения опорных реакций составляем уравнение

;

Составляем уравнения изгибающего момента в вертикальной плоскости М^верт:

участок I, 0  z₁  l₁ = 0,05 м:

Нм;

участок II, 0  z₂  (l - l₁ - l₂) = 0,06 м:

;

Нм;

Нм;

участок III, 0  z₃  0,04 м:

;

Нм.

Эпюры М ^верт приведены на рис. 3.5, г;

Составляем схему нагрузок в горизонтальной плоскости (рис3.5, д) и вычисляем величину опорных реакций. Силы рисуем вертикально, так как на расчетах это не отражается.

;

Н.

;

;

Н.

Составляем уравнения изгибающего момента в горизонтальной плоскости М ^гор:

участок I, 0  z₁  l₁ = 0,05 м:

;

;

Нм;

участок II, 0  z₂  (l  l₁  l₂) = 0,06 м:

;

Нм;

Нм.

участок III, 0  z₃  0,04 м:

;

Нм.

Эпюра изгибающего момента в горизонтальной плоскости М^гор приведена на рис. 3.5,е;

Результирующую эпюру изгибающих моментов строим как геометрическую сумму ординат от моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях:

.

Вычисляем значения ординат М_рез в граничных сечениях:

;

Нм;

Нм;

.

Эпюра результирующего изгибающего момента  это ломаная линия в пространстве.

Для удобства изображения радиусы-векторы этой ломаной разворачивают в одну плоскость. Если эпюры М^верт и М^гор на каком-либо участке имеют вид треугольников с совпадающими вершинами, то на этом участке эпюра М_рез будет очерчена прямой линией. На остальных участках будет кривая с выпуклостью в сторону нулевой линии (3.5, ж);

Строим эпюру крутящего момента (рис3.5,з). Вал имеет один участок – CD, на котором Нм.

Значение приведенного момента вычисляем в характерных точках по третьей теории прочности:

;

;

Нм;

Нм;

.

Эпюра М_прив приведена на рис. 3.5,и. по эпюре М_прив устанавливается опасное сечение вала. В данном случае опасным является сечение, проходящее через точку С, т. е. под расположенное под цилиндрическим зубчатым колесом;

Подбираем диаметр вала. Материал вала находится в плоском напряженном состоянии от совместного действия изгиба с кручением. Условие прочности записываем в следующем виде:

,

где М_прив = 274,97 Нм – приведенный момент в опасном сечении вала;

 осевой момент сопротивления;

d – диаметр вала.

Материал вала при вращении испытывает действие переменных напряжений. Вначале определяют ориентировочный диаметр вала по некоторому условному допускаемому напряжению

,

где _в  предел прочности материала;

к  коэффициент запаса прочности, принимаемый равным 8..12.

Данный вал изготавливают из стали 45, для которой МПа:

МПа.

Вычисляем величину момента сопротивления:

м³ = 3,44 мм³.

см = 32,5 мм.

Полученный диаметр округляем до ближайшего стандартного. Принимаем d = 34 мм.

Расчет на усталостную прочность

Проверку прочности вала при переменных напряжениях производим по тем же нагрузкам, по которым был выполнен расчет на статическую прочность. Для расчета используем готовые эпюры (рис. 3.5,г,е). В опасном сечении (сечение, проходящее через точку С) имеем:

M_рез = 188,7 МПа;

М_кр = 200 МПа;

d = 34 мм.

Концентраторами напряжений в опасном сечении являются галтель, шпонка и напряженная посадка зубчатого колеса.

1. Вычисляем величину номинального напряжения от результирующего изгибающего момента M_рез:

МПа.

Вычисляем величину номинального напряжения от крутящего момента М_кр = Т.

МПа

Нормальные напряжения от изгибающего момента при вращении вала меняются по симметричному циклу:

МПа;

МПа;

МПа;

Касательные напряжения в нереверсивных валах меняются по отнулевому циклу:

МПа;

;

МПа;

МПа;

Устанавливаем величину пределов выносливости и коэффициентов:

Пределы выносливости находим из приложения П3 для стали с пределом прочности МПа:

МПа; МПа;

Коэффициенты влияния асимметрии цикла принимаем равными

; .

Концентраторами напряжений в опасном сечении являются галтель, шпонка и напряженная посадка зубчатого колеса. Из приложения П17 для стали 45 с МПа находим:

для галтели – k_ = 2,28; k_ = 2,37;

для шпонки – k_ = 2,01; k_ =1,88;

для посадки – k_ = 2,09; k_ = 1,71.

Для дальнейшего расчета принимаем k_ = 2,28; k_ = 2,37;

Масштабные коэффициенты выбираем из приложения П18: для d = 34 мм и углеродистой стали:

_ = 0,86; _ = 0,8;

Вычисляем фактический основной коэффициент запаса прочности:

Коэффициент запаса прочности не вышел за допустимые пределы S₀ = 1,5..3, следовательно, диаметр пересчитывать не надо.