Часть 1. Решение системы уравнений в Excel
Порядок выполнения работы
Решить систему уравнений методомГаусса.
Решить систему уравнений методомматриц.
Легче всего в Excel реализуются матричные методы решения систем линей- ных уравнений. Для их применения систему необходимо записать в матричной форме:
Ах =b
Здесь А — матрица коэффициентов, х — вектор неизвестных, а b — вектор правой части уравнений. Для решения этого матричного уравнения обе его части умножаются на матрицу, обратную к А :
А-1 Ах = А-1 b
По определению, произведение матрицы на обратную к ней дает единичную матрицу, а произведение единичной матрицы на любой вектор равно этому же вектору, поэтому предыдущее уравнение преобразуется к следующему виду:
х = А-1 b.
Это и есть решение системы уравнений. Хотя в абстрактном виде все вы- глядит очень просто, нахождение обратной матрицы — задача достаточно не- тривиальная. К счастью, в Excel есть для этого встроенная функция МОБР().
В качестве примера рассмотрим следующую систему линейных уравнений:
-8x1 + x2 + 2x3 = 0 5x1 + 7 x2 - 3x3 = 10
2x1 + x2 - 2x3 = -2
Она имеет решение x1 = 1, x2= 2, хз = 3. В матричной форме эти уравнения запи- сываются следующим образом:
-
-8
1
2
x1
0
5
7
-3
x2
=
10
2
1
-2
x3
-2
Такую
систему можно с легкостью решить на
листе электронной таблицы.
Для этого проделайте следующее.
Создайте новый лист и присвойте ему имяLab3
В ячейке А1 введите Решение систем уравнений; обращениематрицы.
В ячейке ВЗ введите Ах=b
Теперь введите матрицукоэффициентов А и вектор правой части b.
В ячейке А5 введите Исходная матрица(А).
В ячейках А6:С8 введите элементы матрицыА:
Ячейка Значение Ячейка Значение Ячейка Значение
-
А6
-8
В6
1
С6
2
А7
5 .
В7
7
С7
-З
А8
2
В8
1
С8
-2
В ячейке Е5 введите Правая часть(b).
В ячейках Еб:Е8 введите компоненты вектора правойчасти.
Далее необходимо обратить матрицу А и умножить вектор Ь на матрицу, об- ратную к А. Применяемая для этого функция МОБР возвращает массив значе- ний, который вставляется сразу в целый столбец ячеек:
В ячейке А10 введите Обратная матрица(1/А).
Выделите ячейки А11:С13, введитеследующее:
=МОБР(А6:С8)
и нажмите клавиши <CtrI+Shift+Enter>
для вставки этой формулы во все выбранные ячейки.
В ячейке ЕЮ введите Вектор решения х =(1/А)b.
Выделите ячейки Е11:Е13 и введитеследующее:
=МУМНОЖ(А11:С13;Е6:Е8).а затем нажмите клавиши <Ctrl+Shift+Enter> для вставки формулы во все выбранные ячейки.
Отключитеотображениелинийсеткииобведитеячейкиконтуром.
В ячейках Е11-Е13 должны стоять значения компонентов вектора решения x1, x2, x3.
3. Решить систему уравнений с помощью модуля поиска решения
Если тщательно подготовить структуру листа, то для решения систем линей- ных уравнений можно использовать модуль поиска решения. Этот модуль выби- рает в качестве целевой оптимизируемой величины значение одной ячейки, по- этому для решения системы уравнений их правые части необходимо объединить в одну скалярную целевую функцию и оптимизировать ее значение. Одним из способов построения целевого значения является запись всех уравнений с правой частью, равной нулю, и сложения модулей левых частей. Как только эта величи- на становится равной нулю, решение получено. Взятие модуля гарантирует, что результаты вычислений по двум уравнениям не будут в сумме взаимно уничто- жены из-за противоположных знаков. Для оптимизации целевого значения мо- дуль поиска решения автоматически перебирает ряд возможных значений, по- этому для ячеек с исходными значениями не требуется какой-либо специальной инициализации.
Откройте новый лист и дайте ему имяLab3a.
Сделайте ширину столбца А равной4.
В ячейке А4 введите Решение систем уравнений; модуль поискарешения.
Теперь введем в таблицу необходимые формулы. Они имеют тот же вид, за тем исключением, что значение левой части уравнения вычитается из правой для того, чтобы правая часть стала равной нулю. Как только подобран век- тор, обращающий все уравнения в 0, задача решена.
В ячейках В8:В10 введите следующиеформулы: