Прямые методы

Одним из способов решения системы линейных уравнений является прави- ло Крамера. Можно попытаться использовать это правило для решения систем уравнений произвольного порядка. Однако при большом числе уравнений потре- буется выполнить огромное число арифметических операций, поскольку для вы- числений п неизвестных необходимо найти значения определителей, число кото- рых n +1. Количество арифметических операций можно оценить с учетом сле- дующей формулы . При этом предполагаем, что определители вычисляются не- посредственно — без использования экономичных методов. Тогда получим

N = (n+ 1)(n _* n! - 1)+ n.

Поэтому правило Крамера можно использовать лишь для решения систем, со- стоящих из нескольких уравнений.

Наиболее распространенными среди прямых методов являются метод ис- ключения Гаусса и его модификации. Ниже рассматривается применение метода исключения для решения систем линейных уравнений, а также для вычисления определителя и нахождения обратной матрицы.

Метод Гаусса. Он основан на приведении матрицы системы к треугольному виду. Это достигается последовательным исключением неизвестных из уравне- ний системы. Сначала с помощью первого уравнения исключается x₁ из всех по- следующих уравнений системы. Затем с помощью второго уравнения исключа- ется x₂ из третьего и всех последующих уравнений. Этот процесс, называемый прямым ходом метода Гаусса, продолжается до тех пор, пока в левой части по- следнего (п-го) уравнения не останется лишь один член с неизвестным Хп, т. е. матрица системы будет приведена к треугольному виду. Заметим, что к такому виду приводится лишь невырожденная матрица. В противном случае метод Га- усса неприменим.

Обратный ход метода Гаусса состоит в последовательном вычислении ис- комых неизвестных: решая последнее уравнение, находим единственное неиз- вестное Хп . Далее, используя это значение, из предыдущего уравнения вы- числяем X_n-1 и т. д. Последним найдем X₁ из первого уравнения.

2. Примервыполнения

Рассмотрим применение метода Гаусса для системы

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + a₁₃ x₃ = b₁ ,

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ + a₂₃ x₃ =b₂ (3.1)

a₃₁ x₁ + a₃₂ x₂ + a₃₃ x₃ =b₃ a₂₁ 0

Для исключения X₁ из второго уравнения прибавим к нему первое, умно- женное на — a₂₁/ a₁₁. Затем, умножив первое уравнение на — a₃₁/ a₁₁ и прибавив результат к третьему уравнению, также исключим из негоX₁. Получимрав-носильную систему уравненийвида

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + a₁₃ x₃ = b₁ ,

a`<sub>22</sub> x<sub>2</sub> + a`₂₃ x₃=b`<sub>2</sub> (3.2) a`₃₂ x₂ + a`<sub>33</sub> x<sub>3</sub> =b`₃

a`_{i j} = a_{i j} – (a_i1/ a_1j)a_1j, i, j =2,3,

b`_i = b_i – (a_i1/ a_1j)b₁, i=2,3, a_1j 0

Теперь из третьего уравнения системы (3.2) нужно исключить x₂. Для этого умножимвтороеуравнениена—a`<sub>32</sub>/a`₂₂ иприбавимрезультатктретьему.

Получим

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + a₁₃ x₃ = b₁ ,

a`<sub>22</sub> x<sub>2</sub> + a`₂₃ x₃ =b`₂, (3.3) a``<sub>33</sub> x<sub>3</sub> =b``₃,

a``₃₃ = a`<sub>33</sub> – (a`₃₂/ a`<sub>22</sub> ) a`₂₃,

b``₃ = b`<sub>3</sub> – (a`₃₂/ a`<sub>22</sub> ) b`₂ .

Матрица системы (3.3) имеет треугольный вид. На этом заканчивается пря- мой ход метода Гаусса.

Заметим, что в процессе исключения неизвестных приходится выполнять операции деления на коэффициенты a₁₁, a₂₂ и т. д. Поэтому они должны быть от- личными от нуля в противном случае необходимо соответственным образом пе- реставить уравнения системы. Перестановка уравнений должна быть предусмот- рена в вычислительном алгоритме при его реализации на ЭВМ.

Обратный ход начинается с решения третьего уравнения системы (3.3):

x₃ == b``<sub>3</sub>/ a``₃₃ .

Используя это значение, можно найти Х₂ из второго уравнения, а затем x₁ из первого:

x₂ = (b`<sub>2</sub> - a`₃₂ x₃)/ a`₂₂ , x₁ = (b₁ - a₁₂ x₂ - a₁₃ x₃)/ a₁₁ .

Аналогично строится вычислительный алгоритм для линейной системы с произвольным числом уравнений.