4. Содержаниеотчета

1. Формулировказадания

2. Описание процесса выполнения работы и результатырасчетов.

2. Диаграмма.

Лабораторная работа № 5 Тема: Численное дифференцирование

1. Вводныезамечания.

Численное дифференцирование выполняется с помощью разностных фор- мул и интерполяционных формул Ньютона. Интерполяционные формулы Нью- тона и центральные разностные формулы являются наиболее точными и наибо- лее часто используемыми. Левые и правые разности используются в специаль- ных случаях.

Функция f(x) может быть аппроксимирована полиномом Ньютона

Ух Р_n

х) y₀

• gy₀

_g( g  1) _{2 y}

2! ⁰

_....g( g  1)....(g n  1) _,

n!

Можно предположить что Y ^(x) P^(x), соответственно

dy _dP _dP dg _1 dP

dx dx dgdx hdg

поэтому получим

y^(x)

₁ 

h

_y₀ 



2g 1

2

² y₀ 

3g²6g2

3!



³ y₀ ...._



_{y(x) }d ( y^) _1 dP^

dx hdg

y^(x) ¹



_² y₀ (g 1)³ y₀

6g²18g11



⁴ y₀ ..._

_h²_ 12 _

при x = x₀ ; g = 0 и соответственно

Типы разностных формул

Левая, правая и центральная разностные формулы являются оценками значе- ния производной, основанными на различных множествах точек. Левая разност- ная формула использует те точки, которые находятся левее исследуемой, правая разностная формула использует те точки, которые находятся правее, а централь- ная разностная формула основывается на равном числе точек по обе стороны от исследуемой.

Левые и правые разности используются на границах интервала диф- ференцирования, где невозможно применение центральной формулы, требую- щей равного количества точек с каждой стороны. На границах же точки находят- ся только с одной стороны — внутри интервала, что и делает невозможным ис- пользование центральной разностной формулы. Левые и правые разностные формулы часто дают более точные результаты в тех случаях, когда кривая имеет резкие изломы, поскольку уменьшают влияние на производную точек с другой стороны. В таких случаях, при приближении к точке излома используется левая разность, а при удалении от нее — правая.

Уравнения для вычисления первой производной одинаково для всех трех слу- чаев. Различие заключается только в значении JC, для которого вычисляетсяпро- изводная.Разностнаяформуладлявычисленияпервойпроизводнойимеетвид

dy _^y₂ ^y₁

dx h

где h = x₁ – x₀ = x₀ – x_-1 расстояние между точками, a (.x_-1 , y_-1 ), (x₀, y₀) и (x_1, , y₁) являются парами данных последовательных точек. Тип вычисленной разности зависит от точки, производной в которой приписывается полученной значение.

• Еслиэтоуравнениеявляетсяприближениемдлязначенияпроизводнойвточке

x₁ , тогда это левая разность.

• Еслиэтоуравнениеявляетсяприближениемдлязначенияпроизводнойвточке

x_-1 , тогда это правая разность.

• Еслиэтоуравнениеявляетсяприближениемдлязначенияпроизводнойвточке

x₀, тогда это центральная разность.

Ниже приведены разностные формулы для производных нескольких первых порядков . Все формулы вычисляют производную в точке x₀. Ошибка формулы пропорциональна n-ой степени расстояния между точками h. Таким образом можно оценить точность вычислений. Чем больше степень h, тем точнее форму- ла.

Производная вточкеx₀ Типразности

dy _^y₁ ^y₀

правая

dx h

dy _^y₀ ^y_1

левая

dx h

dy _^y₁ ^y_1

центральная

dx 2h

Производнаявточке Типразности

d ² y

y  2 y y

dx ²

_2 1 0

_h2

правая

d ² y

y 2y y

dx ²

_0 1 2

_h2

левая

d ² y

y  2 y y

dx ²

_1 0 1

_h 2

центральная