3.9. Таблица производных
На практике чаще
всего приходится находить производные
от сложных функций, поэтому аргумент
заменим на промежуточный аргумент «
».
Пример.
Найти производную функции
Решение. Данную функцию перепишем в виде:
Тогда
3.10. Производная от функции, заданной параметрически
Пусть
и
заданы как функции некоторого параметра
:
,
.
Предположим, что функции
и
имеют производные по переменной
в рассматриваемой области изменения
этой переменной и
.
Кроме того, предположим, что функция
в окрестности рассматриваемой точки
имеет обратную функцию
.
Найдем производную
.
По правилу дифференцирования обратной
функции
.
Функцию
,
определяемую параметрическими уравнениями
,
можно рассматривать как сложную функцию
,
где
.
По правилу дифференцирования сложной
функции:
.
Тогда:
,
т.е.
(3.7)
Эта формула позволяет находить производную от функции, заданной параметрически, не находя непосредственной зависимости y от .
Пример
Пусть
.
Найти
.
Решение
;
,
тогда
Пример
Пусть
. Найти
Решение
Тогда
3.11. Логарифмическая производная
В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать, а затем продифференцировать результат. Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием.
Пусть функция
положительна и дифференцируема в данной
точке
.
Тогда в этой точке существует
.
Рассматривая
как сложную функцию аргумента
,
мы можем вычислить производную этой
функции в данной точке
,
принимая
за промежуточный аргумент. Получаем:
.
Эта величина называется логарифмической производной функции в данной точке .
Вычислим
логарифмическую производную
степенно-показательной функции
.
Допустим, что
,
- непрерывные и дифференцируемые функции;
.
Тогда
,
.
Учитывая, что
,
получаем:
.
Примеры
1) Пусть
.
Найти
.
Решение. Прологарифмируем данное выражение
Найдем производную от левой и правой части, считая y зависящей от x.
Выразим
2) Пусть
.
Найти
.
При нахождении производной от дроби получим громоздкое выражение, поэтому сначала прологарифмируем функцию.
;
Найдем производную от левой и правой части этого уравнения, считая y зависящей от x.
Выразим
;
.
3.12. Производная неявной функции
Рассмотрим
дифференцирование неявной функции,
заданной уравнением
Для нахождения
производной функции y,
заданной неявно, нужно продифференцировать
обе части уравнения, рассматривая y
как функцию от x,
а затем из полученного соотношения
найти производную
Пример. Найти производную функции y, заданную уравнением
Решение. Дифференцируя обе части равенства и учитывая, что y есть функция от x, получим
откуда
Замечание. В
дальнейших разделах данного пособия
нам потребуется понятие производной
функции многих переменных. Частная
производная функции
по аргументу
является обыкновенной производной
функции одной переменной
при фиксированных значениях других
переменных (то есть
считаем аргументом, все остальные
- константами ). Обозначается такая
производная
Теория функции нескольких переменных выходит за рамки данного пособия (см. часть 3).