- •И. В Кольчик высшая математика комплекс учебно-методических материалов
- •Часть 2
- •603950, Гсп-41,г. Нижний Новгород, ул.Минина, 24.
- •Содержание
- •3.16. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы первого
- •3.24. Приложения производной. Основные теоремы дифференциального
- •Пояснительная записка
- •2. Описание содержания основных тем
- •1. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
- •2. Интегральное исчисление функции одной переменной.
- •3. Дифференциальные уравнения.
- •1. Задача о скорости движения.
- •2. Задача о касательной.
- •3.2. Определение производной. Уравнение касательной и нормали к кривой. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
- •3.3. Односторонние конечные и бесконечные производные
- •3.4. Дифференцируемость функции в точке
- •3.5. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного
- •3.6. Производные основных элементарных функций
- •3.7. Производная сложной функции
- •3.8 Дифференцирование обратных функций
- •3.9. Таблица производных
- •3.10. Производная от функции, заданной параметрически
- •3.11. Логарифмическая производная
- •3.12. Производная неявной функции
- •3.13. Дифференциал функции
- •3.14. Геометрический смысл дифференциала
- •3.15. Приближенные вычисления с помощью дифференциала
- •3.16. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала
- •3.17. Производные и дифференциалы высших порядков
- •3.18. Векторные функции скалярного аргумента
- •3.19. Предел и непрерывность
- •3.20. Дифференцирование векторной функции
- •3.21. Правила дифференцирования
- •3.22. Производные высших порядков
- •3.23. Кривизна кривой
- •3.24. Приложения производной
- •3.25. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •3.26. Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя
- •3.27. Раскрытие других видов неопределенностей
- •3.28. Формула Тейлора
- •3.29. Формула Маклорена
- •3.30. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена
- •3.31. Исследование поведения функций и построение графиков
- •3.32. Экстремум функции
- •3.33. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •3.34. Направление выпуклости и точки перегиба графика функции
- •3.35. Асимптоты графика функции
- •3.36. Схема исследования графика функции
- •4. Интегральное исчисление
- •4.1. Неопределенный интеграл
- •4.2. Свойства неопределенного интеграла
- •4.3. Таблица основных интегралов
- •4.4. Основные методы интегрирования
- •Метод подстановки.
- •4.5. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
- •3. Метод интегрирования по частям
- •Доказательство
- •4.6. Интегрирование рациональных функций
- •4.7. Интегрирование некоторых иррациональных и трансцендентных функций
- •4.8. Определенный интеграл
- •4.9. Основные свойства определенного интеграла
- •4.11. Интеграл с переменным верхним пределом
- •4.12. Формула Ньютона-Лейбница (основная формула интегрального исчисления)
- •4.13. Замена переменной в определенном интеграле
- •4.14. Интегрирование по частям в определенном интеграле
- •4.15. Приложение определенного интеграла. Площади плоских фигур
- •4.16. Вычисление длинны дуги кривой
- •5. Дифференциальные уравнения
- •5.1. Дифференциальные уравнения
- •5.2. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •5.3. Существование решения дифференциального уравнения
- •5.4. Уравнения с разделяющимися переменными
- •5.5. Однородные уравнения и приводящиеся к ним
- •5.6. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •5.7. Уравнение Бернулли
- •5.8. Уравнения, допускающие понижение порядка
- •5.9. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
- •5.10. Линейные однородные уравнения второго порядка
- •5.11. Линейные неоднородные уравнения второго порядка
- •5.12. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •5.13. Метод неопределенных коэффициентов
- •5.14. Системы дифференциальных уравнений первого порядка
- •Вопросы к экзамену
- •Производная и ее приложения
- •Интегралы. Диффернциальные уравнения
- •Список литературы
Пояснительная записка
Пособие предназначено для студентов, обучающихся по заочной форме, и соответствует рабочей программе, сформированной на основе Государственных образовательных стандартов высшего профессионального обучения по курсу «Математика» для соответствующих направлений подготовки дипломированных специалистов.
Основные цели и задачи курса – овладение студентами основных понятий математики и математических методов исследования; выработка у студентов навыков решения типовых задач.
Изучение математики на заочной форме обучения проводится в течение четырех семестров. Данное пособие содержит необходимые материалы для изучения второй части курса (второй семестр).
В этой части курса изучаются следующие темы: дифференциальное исчисление функции одной переменной; интегральное исчисление функции одной переменной; дифференциальные уравнения.
В течение семестра студенты оформляют в тетрадях контрольные работы №3, №4. Контрольные работы проводятся по вариантам, изложенным в методическом пособии «Высшая математика. Контрольная работа 3, 4 для студентов-заочников (второй семестр)» (Н.Новгород, 2003 г.).
В данном пособии также приведены задания к контрольным работам 3, 4.
Особенностью заочной формы обучения является небольшое количество аудиторной нагрузки, что компенсируется аудиторными консультациями. По окончании семестра проводится экзамен в письменной форме.
2. Описание содержания основных тем
1. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
Определение производной, ее геометрический и механический смысл. Правила дифференцирования. Производная сложной функции, функции, заданной неявно, заданной параметрически, обратной функции. Производные основных элементарных функций. Дифференциал, его геометрический смысл. Производные и дифференциалы высших порядков. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа. Правило Лопиталя. Формула Тейлора. Исследование функций и построение графиков. Кривизна кривой.
2. Интегральное исчисление функции одной переменной.
Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица интегралов. Замена переменной в неопределенном интеграле интегрирование по частям. Интегрирование рациональных дробей, тригонометрических и иррациональных функций. Определение определенного интеграла. Теоремы существования определенного интеграла. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле, интегрирование по частям. Приложения определенного интеграла.
3. Дифференциальные уравнения.
Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема Коши. Уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие понижения порядка. Линейные уравнения. Метод вариации произвольных постоянных. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Системы дифференциальных уравнений.
3. Опорный конспект лекций
3.1. Дифференциальное исчисление.
Производная.
Задачи, приводящие к определению производной