4.8. Определенный интеграл

Пусть функция y=f(x) задана на отрезке [a, b]. Разобьем отрезок [a, b] на п элементарных отрезков точками . В каждом из отрезков разбиения выберем произвольную точку и положим , где i=1, 2, … , n. Тогда сумма вида

(4.6)

называется интегральной суммой функции y=f(x) на отрезке [a, b].

Геометрический смысл величины σ показан на рис. 4.1: это сумма площадей прямоугольников с основаниями и высотами , i=1, 2, … , n.

Рис.4.1

Обозначим через λ длину максимального элементарного отрезка данного разбиения, т.е. .

Определение 4.3. Конечный предел I интегральной суммы σ при , если он существует, называется определенным интегралом от функции f(x) по отрезку [a, b]:

.

Определенный интеграл обозначается символом

Если определенный интеграл существует, то функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [a, b], числа а и b – соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f(x) – подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования.

Теорема 4.5. (необходимое условие интегрируемости функции). Интегрируемая на [a, b] функция f(x) ограничена на этом отрезке.

Теорема 4.6. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на нем.

Теорема 4.7. Если определенная и ограниченная на отрезке [a, b] функция f(x) имеет конечно число точек разрыва, то она интегрируема на этом отрезке.

4.9. Основные свойства определенного интеграла

Будем полагать, что интегралы, входящие в формулы, существуют.

1º По определению полагаем

как определенный интеграл от функции на отрезке нулевой длины, а также

т.к. при движении от b к а все величины имеют отрицательный знак в интегральной сумме (4.6).

2º Для любых чисел а, b и с имеет место равенство

.

3º Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

.

4º Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их определенных интегралов:

.

5º Если функция y=f(x) – четная, то

.

Если функция y=f(x) – нечетная, то

.

4.10. Формулы оценки определенных интегралов (полагаем а<b)

1. Если функция всюду на отрезке [a, b], то

.

2. Если всюду на отрезке [a, b], то

.

3. Если функция f(x) интегрируема на [a, b], то

.

4. Если М и т – соответственно максимум и минимум функции f(x) на отрезке [a, b], то .

4.11. Интеграл с переменным верхним пределом

Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b], то она интегрируема и на отрезке [a, х], где .

Рассмотрим функцию аргумента х:

.

Назовем функцию F(x) интегралом с переменным верхним пределом.

Теорема 4.8. Непрерывная на отрезке [a, b] функция f(x) имеет на этом отрезке первообразную. Одной из первообразных является функция

.

4.12. Формула Ньютона-Лейбница (основная формула интегрального исчисления)

Согласно теореме 4.8 непрерывная на отрезке [a, b] функция f(x) имеет первообразную, которая определяется формулой

, (4.7)

где с – некоторая постоянная.

Подставляя х=а в формулу (4.5), получаем с учетом свойства 1º определенного интеграла

откуда .

Тогда из (4.7) имеем:

.

Полагая x=b, получаем формулу

(4.8)

Равенство (4.8) называется основной формулой интегрального исчисления или формулой Ньютона-Лейбница.

Разность F(b) - F(a) условно записывают , т.е.

(4.9)

Эта формула позволяет вычислить определенный интеграл. Нужно вычислить неопределенный интеграл и затем найти разность значений согласно формуле (4.9)

Пример. .

Пример. .

Пример. .