2.11 Определение устойчивости системы с помощью лчх, по критериям
Гурвица, Найквиста и Михайлова
А) Определение устойчивости системы с помощью ЛЧХ
Частота среза ωср, определённая по ЛАЧХ, составляет 12,6 Гц (десятичный логарифм частоты среза равен 1,1), частота ωкр, соответствующая фазовому сдвигу, равному –π, составляет 10,5 Гц (десятичный логарифм этой частоты равен 1,02). Поскольку ωкр < ωср, система неустойчивая. Точнее, система находится практически на границе устойчивости, т.к. значения рассматриваемых частот очень близки и метод построения ЛЧХ не является точным методом (возможность ошибки построения и большой погрешности при близких значениях достаточно велика).
Б) Определение устойчивости системы по критерию Гурвица
Для устойчивости системы необходимо и достаточно выполнения условия:
все определители должны быть положительны.
Главный определитель Гурвица:
-
а1
а3
а5
0
0
0
а0
а2
а4
а6
0
0
6 =
0
а1
а3
а5
0
0
0
а0
а2
а4
а6
0
0
0
а1
а3
а5
0
0
0
а0
а2
а4
а6
Диагональные миноры:
-
1 =
а1 = 5,75610-8 > 0;
-
2 =
а1
а3
= а1 а2 - а0 а3 = 3,4710-12 > 0;
а0
а2
-
а1
а3
а5
= а1 а2 а3 + а0 а1 а5 – а3 а0 а3 - а1 а1 а4 = 2,9310-14 > 0;
3 =
а0
а2
а4
0
а1
а3
-
а1
а3
а5
0
= а1( а4 а2 а3 + а0 а4 а5+ а1 а2 а6 - а0 а3 а6 – а4 а4 а1 - а5 а2 а2 )-
4 =
а0
а2
а4
а6
0
а1
а3
а5
0
а0
а2
а4
- а3( а0 а4 а3 - а0 а2 а5)+ а5( а0 а4 а1 - а0 а0 а5) = 5,1510-15 > 0,
-
а1
а3
а5
0
0
=
5 =
а0
а2
а4
а6
0
0
а1
а3
а5
0
0
а0
а2
а4
а6
0
0
а1
а3
а5
= а1(а2( а3 а4 а5 + а1 а5 а6 - а3 а3 а6 - а5 а5 а2 ) - а4( а1 а4 а5 -а1 а3 а6 - а0 а5 а5)+
+ а6( а1 а2 а5 - а1 а6 а1 - а0 а3 а5)- а3 (а0 ( а3 а4 а5 + а1 а5 а6 - а3 а3 а6 - а2 а5 а5)
+а5(а0( а1 а4 а5 - а0 а5 а5 - а1 а3 а6) = 6,9710-16 > 0,
Последний определитель включает в себя всю матрицу. Но так как в последнем столбце матрицы все элементы, кроме нижнего, равны нулю, то последний определитель Гурвица выражается через предпоследний следующим образом:
6 = а6 ·5 = 17,65·6,9710-16 =1,23 ·10-14 > 0
Так как определитель шестого порядка положителен, то условие устойчивости выполняется, система устойчива по критерию Гурвица.
В) Определение устойчивости системы по критерию Найквиста
В рассматриваемом случае годограф разомкнутой системы охватывает точку Найквиста с координатами (-1,j0) , поэтому система устойчива по критерию Найквиста.
Г) Определение устойчивости системы по критерию Михайлова
Для суждения об устойчивости используется характеристический полином системы, записанный в частотном виде (вектор Михайлова):
=
При этом действительная часть выражения для вектора Михайлова:
(20)
а мнимая часть
(21)
Частоты, при которых кривая Михайлова пересекает действительную ось, найденные из выражения (21):
0 = 0, 1 = 10,759 (Гц), 2 = 387,41 (Гц)
Точки пересечения кривой Михайлова с действительной осью:
;
)
= -2,76;
=1325235,3.
Для нахождения частот, при которых кривая Михайлова пересекает мнимую ось комплексной плоскости, приравнивается к нулю выражение (20).
Полученное уравнение приводим решаем как классическое уравнение третьей степени, предварительно убедившись, что дискриминант данного уравнения больше нуля:
Δ
=
>
0
Решаем следующую систему и находим корни уравнений:
Частоты, при которых кривая Михайлова пересекает действительную ось, найденные из выражения (20):
3 = 9,98, 4 = 54,33 (Гц), 5 = 2084,41 (Гц)
Точки пересечения кривой Михайлова с мнимой осью:
;
)
=;
=.
Вычисление пределов выражений (20) и (21) при частоте возмущения, стремящийся к бесконечности
,
показывает, что в пределе на бесконечности кривая Михайлова располагается во втором квадранте комплексной плоскости параллельно действительной оси Х. Построенная кривая Михайлова приведена на рисунке 7.
Из рисунка 7 следует, что кривая Михайлова проходит через все квадранты комплексной плоскости, условие устойчивости выполняется.
Рисунок 7 – Кривая Михайлова
2.12 Определение запасов устойчивости по фазе и амплитуде
Устойчивость, определенная по методу Найквиста и Михайлова дает более точное представление о состоянии системы. Графически построения ЛЧХ (рисунок 6) имеет большую погрешность (только она показала небольшую неустойчивость системы).
Так как по ЛЧХ система неустойчивая, то запасы по амплитуде и по фазе отсутствуют. Для получения устойчивой системы необходимо построить ЛАЧХ с коэффициентом Куст < Ккр (см. рисунок 6). Исходя из построенной устойчивой ЛАЧХ запасы устойчивости составят:
- запас по амплитуде 18 дБ,
- запас по фазе 40.
2.13 Определение критического коэффициента передачи с помощью ЛЧХ и критериев Найквиста и Михайлова
А) Определение критического коэффициента передачи с помощью ЛЧХ
Построения для определения критического коэффициента передачи по частотным характеристикам также приведены на рисунке 6. Строится ЛАЧХ системы, находящейся на грани устойчивости.
В принятом масштабе длина отрезка по оси ординат, характеризующего критический коэффициент передачи, равна 23,5 дБ. Тогда, 20lgКкр = 23,5, lgКкр = 23,5/20 = 1,18 , откуда Ккр = 101,18 = 15,1.
Б) Определение критического коэффициента передачи с помощью критерия Найквиста
Определение критического коэффициента передачи по частотной передаточной функции разомкнутой цепи системы:
Частота, соответствующая фазовому сдвигу -, при которой годограф пересекает отрицательную действительную полуось, определена выше и равна 10,759 Гц.
Критический коэффициент передачи Ккр, определяемый на основе выражения:
запишется как:
20,4
Б) Определение критического коэффициента передачи с помощью критерия Михайлова
Определение критического коэффициента передачи с помощью критерия Михайлова выполняется через решение следующей системы:
с учетом выражений (3) и (4) и, принимая во внимание, что 0; а6 = К; К = Ккр:
После нахождения из второго уравнения системы частоты = 10,759 Гц и подстановки этого значения в первое уравнение, находится критический коэффициент передачи Ккр:
2.14 Описание возможной конструкции, схемы, принципа работы и общего математического описания, происходящего в устройстве процесса для тензометрического датчика, электронного усилителя и двигателя постоянного тока