2 Пояснительная записка

2.1 Особенности работы предложенной системы автоматического управления

Станок снабжен независимым от главного движения бесступенчатым приводом подачи (от гидравлического регулятора скорости, объединяющего в себе регулируемый гидронасос 4 и нерегулируемый гидродвигатель 6). На суппорте 2 станка вместо поперечных салазок установлен однокомпонентный динамометр 1 для измерения радиальной составляющей Р_у силы резания. Сигнал с динамометра 1 через датчик 11 с усилителем 10 поступает в электронный блок, где происходит сравнение действующей силы с заданной (сравнивающее устройство 8, задатчик 9), и в зависимости от величины и знака рассогласования вырабатывается управляющий сигнал, подаваемый после усиления, в усилителе 7 на управляющую обмотку реверсивного двигателя 5, изменяющего наклон чашки регулируемого насоса, а следовательно, и скорость вращения гидродвигателя. Далее через ременную передачу 3 движение передается на ходовой вал станка, и тем самым регулируется величина подачи суппорта 2. Блок-схема САУ стабилизации составляющей Р_у силы резания регулированием продольной подачи приведена на рисунке 1.

Рисунок 1 – Блок-схема САУ стабилизации составляющей Р_у силы резания

регулированием продольной подачи

2.2 Функциональная схема САУ

Переменной состояния, позволяющей оценивать характер протекания процесса, в данном случае является радиальная составляющая силы резания Р_у, в свою очередь являющаяся одной из выходных координат процесса резания. Поэтому объектом управления является процесс резания. Исполнительное устройство включает в себя реверсивный двигатель 5, привод подач (4,3,2), ременную передачу с суппортом. Измерительным устройством, формирующим сигнал, пропорциональный фактическому значению силы Р_у, служит динамометр с тензометрическим датчиком. В системе используются два усилительных устройства – электронный усилитель в цепи обратной связи, служащий для увеличения значения измерительного сигнала, и тиристорный усилитель, увеличивающий напряжение, поступающее со сравнивающего устройства до значений, достаточных для управления электродвигателем. В систему поступает два задающих воздействия: главное задающее воздействие обеспечивает подачу в систему опорного напряжения U₀, изменяющегося по заданной программе и пропорционального требуемому значению силы Р_у; другое задающее воздействие (в виде частоты вращения гидродвигателя n) обеспечивает протекание процесса резания при отсутствии ошибки рассогласования, т. е. если значение силы Р_у равно требуемому значению. Функциональная схема данной системы управления приведена на рисунке 2.

Исп.У

n

ТУ

ДПТ

ГН

РПС

ПР

U₀

U₁

Ру= const

S



U₂

Изм.У

δ

Д

ЭУ

ПД

Рисунок 2 – Функциональная схема САУ и ее составляющие:

ОУ – объект управления; ИспУ – исполнительное устройство;

ИзмУ – измерительное устройство;U₀ – задающее воздействие;

U₁ – сигнал ошибки рассогласования; U₂ – сигнал внешней обратной связи;

P_y=const – выходная величина; P_y – управляемая величина; S – управляющее воздействие;

ТУ – тиристорный усилитель; ЭУ - электронныйй усилитель; Д – динамометр;

ПД – пьезоэлектрический датчик; ДПТ – двигатель постоянного тока;

ГН – гидравлический регулятор; РПС – ременная передача с суппортом;

ПР – процесс резания

2.3 Определение динамического типа звеньев и их передаточных функций

Определение типа и характера звеньев системы сведено в таблицу 2.

Передаточная функция гидравлического регулятора определяется с учетом его назначения в системе – обеспечить изменение частоты вращения гидродвигателя, пропорциональное изменению регулируемой силы резания. Таким образом, регулируемый гидронасос является позиционным звеном, у которого выходная координата (частота вращения) пропорциональна входной координате (углу поворота на выходе электродвигателя). С учетом того, что у гидронасоса заданы две постоянные времени, он представляется как колебательное звено (апериодическое звено второго порядка) с передаточной функцией, выражаемой соотношением (1).

, (1)

где постоянные времени Т₁₃ и Т₁₄ определяются из соотношения (2)

, (2)

,

Т₁₃ = 0,536 мс; Т₁₄ = 7,464 мс.

В данном случае регулируемый гидронасос фактически можно представить как два последовательно соединенных звена с постоянными времени Т₁₃ и Т₁₄ и общим коэффициентом передачи К₄.

На выходе электродвигателя необходимо получить угол поворота, для непосредственного изменения угла наклона чашки регулируемого гидронасоса. Поэтому в данном случае электродвигатель является колебательным звеном с интегрирующими свойствами (реальным интегрирующим звеном).

Таблица 2 – Тип и характер звеньев системы

№ по схеме	Вид элемента	Вид сигнала		Тип звена	Передаточная функция
		вход	выход
1	Динамометр	Сила	Переме­ще­ние	Безынерционное	К1
3,2	Ременная передача с суппортом	Частота вращения	Скорость подачи	Безынерционное	К32
4	Регулируемый гидронасос	Угол поворота	Частота вращения	Колебательное (апериодическое второго порядка)
5	Электродвигатель постоянного тока	Напряжение	Угол поворота	Реальное интегрирующее
7	Усилитель тиристорный	Напряжение	Напряжение	Инерционное
10	Усилитель электронный	Напряжение	Напряжение	Безынерционное	К10
11	Датчик тензометрический	Переме­ще­ние	Напряжение	Безынерционное	К11
12	Процесс резания	Скорость подачи	Сила	Инерционное

2.4 Структурная схема САУ

Рисунок 3 – Структурная схема системы автоматического управления

2.5 Определение структурной устойчивости системы

Система, структурная схема которой представлена на рисунке 3, содержит четыре безынерционных, два инерционных, одно реальное интегрирующее звено и одно колебательное звено (апериодическое второго порядка). Система, состоящая из любого числа позиционных звеньев и одного интегрирующего звена, структурно устойчива, т.к. ее можно сделать устойчивой соответствующим выбором параметров системы.

2.6 Определение передаточной функции замкнутой системы по главному

задающему воздействию в операторной и частотной форме

Главным задающим воздействием является сигнал с задатчика 8. Другим задающим воздействием является сигнал с гидродвигателя 6, поддерживающий работу системы при отсутствии сигнала с задатчика (сила резания имеет заданное значение). Поэтому без учета внешних возмущений уравнение динамики в операторной форме для данной системы можно записать в виде

P_y(s)=W₁(s)·U₀(s)+W₂(s)·n₀(s), (3)

где W₁(s), W₂(s) – соответственно передаточные функции системы по задающим воздействиям U₀ и n₀.

Определение передаточной функции системы по главному задающему воздействию U₀.

Передаточная функция замкнутой системы определяется по формуле (4)

, (4)

где W_n(s) – передаточная функция прямой цепи;

W_pc(s) – передаточная функция разомкнутой цепи.

При этом передаточная функция прямой цепи (рисунок 6) запишется в виде

(5)

Рисунок 6 – Прямая цепь системы автоматического управления по главному

задающему воздействию

Передаточная функция разомкнутой цепи системы (рисунок 7) запишется в виде

. (6)

Рисунок 7 – Разомкнутая цепь системы АУ

Передаточная функция замкнутой системы по главному задающему воздействию в операторной форме запишется в виде

(7)

2.7 Определение передаточной функции разомкнутой системы по задающему воздействию в операторной и частотной форме

Передаточная функция замкнутой системы по задающему воздействию n₀ определяется по формуле (4). При этом передаточная функция прямой цепи (рисунок 8) запишется в виде

. (8)

Передаточная функция разомкнутой цепи системы в данном случае определяется соотношением (6). Поэтому передаточная функция замкнутой системы по задающему воздействию n₀ в операторной форме запишется в виде

(9)

Рисунок 8 – Прямая цепь системы АУ по задающему воздействию n₀

2.8 Определение коэффициента передачи системы и нахождение коэффициентов характеристического уравнения

Предложенная система является линеаризованной, и для нее справедлив принцип суперпозиции. Для устойчивости системы в целом необходима ее устойчивость по каждому из задающих воздействий.

Однако применительно к целям настоящей работы достаточно ограничиться расчетом устойчивости только по одному, главному, задающему воздействию.

Характеристический полином замкнутой системы из выражения (7) запишется в виде

(10)

А характеристическое уравнение имеет вид

, (11)

где а₀, а₁, а₂, а₃, а₄, а₅, а₆ – коэффициенты характеристического уравнения, определяемые по формулам (12):

,

,

(12) ,

,

,

.

К – коэффициент передачи системы. Его численное значение будет равно:

Коэффициент передачи системы имеет размерность [с^-1], т. к. система состоит из набора позиционных звеньев и одного интегрирующего звена.

Коэффициенты характеристического уравнения (с учетом Т₅ = 0,11 с, Т₇ = 0,0005 с, Т₁₃ = 0,536·10^-3с, Т₁₄ = 7,464·10^-3с, Т₁₂ = 0,065 с)

10^-11 с^-6,

^-8 с^-5,

^-5 с^-4

^-3 с^-3

с^-2,

с^-1,

2.9 Построение АФЧХ разомкнутой системы

Заменой в выражении (6) передаточной функции разомкнутой цепи системы оператора s на частотный оператор iω получается частотная передаточная функция разомкнутой цепи

. (16)

После раскрытия скобок в знаменателе с учетом (12) и соответствующих преобразований получается

(17)

Для построения амплитудно-фазовой частотной характеристики (годографа) разомкнутой системы записываются выражения для действительной и мнимой части частотной передаточной функции разомкнутой цепи системы на основании выражения (17)

(18)

(19)

Пределы выражений (18) и (19):

, ,

, .

При этом при вычислении пределов используется правило Лопиталя, утверждающее, что при определенных условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Из выражения (19) определяются частоты, соответствующие точкам пересечения годографа с действительной осью. Для этого выражение (19) приравнивается к нулю, и находятся корни биквадратного уравнения числителя дроби (19).

Искомые частоты равны ω₁ = 10,759 Гц, ω₃ = 387,407 Гц.

Тогда

Re(10,759) =

= -9,31,

Re(387,407) = =5,16·10^-3.

Из выражения (18) определяются частоты, соответствующие точкам пересечения годографа с мнимой осью. Для этого выражение (18) приравнивается к нулю. Искомые частоты равны ω₂ = 54,33 Гц, ω₄ = 2084,655 Гц.

Тогда

Im(54,33) = 0,01353,

Im(2084,655) = -8,0710^-9.

Годограф строится соединением плавной кривой полученных точек в порядке возрастания частот (рисунок 10).

а)

Рисунок 10 – АФЧХ разомкнутой системы:

а) характер годографа в области высоких частот;

б) общий вид годографа

2.10 Построение асимптотических ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы

Границы частотных интервалов – сопрягающие частоты, равные собственным частотам типовых звеньев:

Таблица 4 – Границы частотных интервалов

Постоянные времени Тi, с	Сопрягающие частоты ω0i, Гц	Логарифмы ω0i
Т5=0,11	ω05=9,09	lg ω05=0,96
Т7=0,5·10-3	ω07=2000	lg ω07=3,3
Т13=0,536·10-3	ω013=1865,7	lg ω013=3,27
Т14=7,464·10-3	ω014=133,98	lg ω014=2,13
Т12=0,065	ω012=15,39	lg ω012=1,19

Найденные значения частот нанесены на координатную ось частот в логарифмическом масштабе (рисунок 9).

Логарифмическая амплитудно-частотная функция для разомкнутой системы определяется по формуле (13)

, (13)

где – модуль частотной передаточной функции разомкнутой цепи системы,

, (14)

где – модуль частотной передаточной функции k-го звена.

Тогда логарифмическая амплитудно-частотная функция для разомкнутой системы запишется в виде

(15)

Выражения для логарифмической амплитудно-частотной функции, соответствующие найденным частотным интервалам:

 < 9,09:

9,09 <  < 15,4: ;

15,4 <  <133,98: ;

133,98 <  < 1865,7:

;

1865,7 <  < 2000:

;

 > 2000:

Построенная асимптотическая ЛАЧХ приведена на рисунке 9.

Система состоит из безынерционных, инерционных звеньев, апериодического звена второго порядка, представляющего собой два последовательно соединённых инерционных звена и реального интегрирующего звена, Фазовые сдвиги вносят инерционные звенья и интегрирующее звено. Поскольку фазовый сдвиг в системе определяется двумя инерционными, одним апериодическим звеном второго порядка и реальным интегрирующим звеном, то при ω суммарный фазовый сдвиг равен -3π.

Искомая ЛФЧХ системы получается графическим сложением фазовых сдвигов отдельных элементарных звеньев при соответствующих частотах:

()= -90^о- arctgT₅ - arctgT₇ - arctgT₁₂ - arctgT₁₃- arctgT₁₄

Результаты расчёта ЛФЧХ системы и отдельных ее звеньев приведены в таблице 5.

Таблица 5 – Расчетные значения ЛФЧХ звеньев и ЛФЧХ системы

ЛФЧХ 	-arctgT5	-arctgT7	-arctgT12	Интегрирующее звено	-arctgT13	-arctgT14	Суммарная ЛФЧХ
0,1	-0,63	0,00	-0,37	-90	0,00	-0,04	-91,05
0,3	-1,89	-0,01	-1,12		-0,01	-0,13	-93,15
1	-6,28	-0,03	-3,72		-0,03	-0,43	-100,48
3	-18,26	-0,09	-11,03		-0,09	-1,28	-120,76
5	-28,81	-0,14	-18,00		-0,15	-2,14	-139,25
10	-47,73	-0,29	-33,02		-0,31	-4,27	-175,61
20	-65,56	-0,57	-52,43		-0,61	-8,49	-217,66
25	-70,02	-0,72	-58,39		-0,77	-10,57	-230,46
30	-73,14	-0,86	-62,85		-0,92	-12,62	-240,39
40	-77,20	-1,15	-68,96		-1,23	-16,62	-255,16
60	-81,38	-1,72	-75,62		-1,84	-24,12	-274,69
80	-83,52	-2,29	-79,11		-2,46	-30,84	-288,22
100	-84,81	-2,86	-81,25		-3,07	-36,74	-298,73
200	-87,40	-5,71	-85,60		-6,12	-56,18	-331,01
250	-87,92	-7,13	-86,48		-7,63	-61,81	-340,97
300	-88,26	-8,53	-87,06		-9,13	-65,94	-348,93
500	-88,96	-14,04	-88,24		-15,00	-75,00	-371,23
1000	-89,48	-26,57	-89,12		-28,19	-82,37	-405,72
5000	-89,90	-68,20	-89,82		-69,54	-88,47	-495,92
10000	-89,95	-78,69	-89,91		-79,43	-89,23	-517,21
20000	-89,97	-84,29	-89,96		-84,67	-89,62	-528,51

Рисунок 6 – ЛАЧХ и ЛФЧХ системы