3. Численное интегрирование

Вычислить определенный интеграл с помощью квадратурных формул Симпсона и Лобатто. Принять , .

Вариант			Вариант			Вариант			Вариант
1			8			15			22
2			9			16			23
3			10			17			24
4			11			18			25
5			12			19			26
6			13			20			27
7			14			21

4. Решение дифференциальных уравнений

4.1. Привести заданное уравнение (или систему) к форме Коши: , .

4.2. Обосновать выбор метода (функции MatLab) и решить полученную систему.

4.3. После получения решения отобразить его графически.

4.4. Для получения отличной оценки анимировать траекторию решения в GIF и AVI форматах (для вариантов 1 и 2 варьируется параметр А, для остальных – анимируется сама траектория решения в процессе её получения).

Для анимации графиков MatLab используются функции:

drawnow – приостанавливает выполнение скрипта MatLab до завершения работы графической функции. Необходимо вызывать перед считыванием изображения;

getframe – считывание изображения (figure) полученного графика (построенного с помощью plot, surf или другой графической функции );

movie2avi – запись массива кадров в avi-файл;

rgb2ind – перекодирование изображения из RGB-формата в индексную форму, соответствующую заданной цветовой карте (может быть одной из стандартных, или пользовательской);

imwrite – сохранение изображений (в частности, GIF).

Например:

1. В цикле (по k) строятся и считываются графики: data1(k)=getframe(gcf);

Затем полученный массив кадров сохраняется: movie2avi(data1,'test1.avi');

2. В цикле формируется массив индексных изображений: x2(:,:,1,k) = rgb2ind(getframe(gcf).cdata, cmap);

Затем сохраняется: imwrite(data2,colormap,'test2.gif','delaytime',0.5,'loopcount',0);

Вариант 1: «Физический» маятник. , , где – угол отклонения от вертикали, t – время, А – начальное значение отклонения. Принять . Помимо решения вывести также график приближенного решения, т.е. решения уравнения математического маятника ( ): .

Вариант 2: Уравнение Ван-дер-Поля. , ( ). Необходимо решить его с начальными условиями . Значение параметра принять равным 2.

Вариант 3: Упрощенная задача трех тел. Тело с пренебрежимо малой массой вращается в одной плоскости с двумя массивными телами (Земля и Луна), находящимися в точках (0;0) и (1;0). и – абсцисса и ордината тела. Уравнение движения тела:

Начальные значения: , , . Длительность решения: .

Необходимо решить эту задачу и отобразить траекторию тела в системе координат .

Вариант 4: Задача двух тел. Описывает движение двух тел под действием сил гравитации, одно из которых находится в начале координат, а абсцисса и ордината второго – и . Уравнение движения тела:

, где с начальными условиями , , , . Длительность решения: . Отобразить траекторию тела в системе координат .

Вариант 5: Дифференциальные уравнения для эллиптических функций Якоби (JACB):

с начальными условиями , , . . Отобразить траектории решения в системах координат и .

Вариант 6: «Брюсселятор»: с начальными условиями , . Длительность решения: .

Необходимо отобразить траекторию решения в системах координат и .

Вариант 7: Аттрактор Лоренца: с начальными условиями , , . Длительность решения: .

Необходимо отобразить траекторию решения в системах координат и .

Вариант 8: «Орегонатор»:  . Начальные условия: , , . Учесть, что эта система является жёсткой (stiff)! Длительность решения: . Отобразить траекторию в системе координат и .