Функции нескольких переменных.
До сих пор мы изучали совместное изменение двух переменных, из которых одна зависима от другой. В науке и жизни нередки, однако, случаи, когда независимых переменных оказывается несколько.
Так, например, объем V кругового цилиндра есть функция от радиуса R его основания и от высоты цилиндра.
Или: по закону Ома напряжение в цепи электрического тока является функцией от силы тока и сопротивления.
Уточнение понятия функции нескольких независимых переменных проведем для случая двух переменных.
Определение:
величина z
называется функцией двух независимых
переменных x
и y,
если каждой паре 
,
принадлежащей некоторой области G,
соответствует единственное определенное
числовое значение величины z.
Область G называется областью определения функции z, а множество числовых значений, принятых z в этой области, называется областью значений z.
Функция
z
записывается так
Пару
чисел 
,будем
изображать в виде точки 
координатной плоскости xOy.При
изменении значений х и у, т. М будет
двигаться по плоскости аргументов,
Причем каждому ее положению соответствует
определенное значение функции z.
Можно записать, что 
– функция точки М.
Пусть G – есть область определения функции z. Точка, расположенная на границе, - граничная точка. Совокупность всех граничных точек называется границей области.
Если добавить к области G её границу, то получим замкнутую область.
Рассмотрим
геометрическую интерпретацию функции
двух аргументов
.
Тройка
чисел 
,будет изображаться точкой 
.
Если
точка 
будет двигаться в области G
, то точка Р опишет некоторую поверхность
Q.
Это и есть геометрический образ функции
.
Предел функции.
Определение:
число С называется пределом функции
при 
,
если при всяком 
можно указать такое число 
,
что неравенство 
,будет справедливо для всех точек М,
лежащих в 
окрестности точки 
.
или
Предел функции z не зависит от способа приближения точки М к ; он должен быть одним и тем же числом С при любом способе приближения М к .
Непрерывные функции.
Определение:
функция 
называется непрерывной в точке Р(а,b)
области определения G,
если функция z
определена в некоторой окрестности
этой точки, имеет предел при 
( то есть при 
)
и этот предел равен значению z
в точке Р.
или
Точка Р является внутренней точкой области G.
Производные и дифференциалы функции нескольких переменных.
Частные производные
Дадим
аргументу х функции
приращение 
,
сохраняя значение второго аргумента у
неизменным. Тогда функция z
получит приращение 
называется частным приращением функции
z
по аргументу х. Аналогично 
Отношения
и 
дают нам среднюю скорость изменения
функции z
по аргументу х на отрезке 
и по аргументу у на отрезке 
.
И
стинную
скорость в этих направлениях получим
переходя в обоих отношениях к пределу
при 
и 
.Эти
пределы называются частными
производными функции z.
Определение: частной производной (первого порядка) функции аргументов х и у по одному из них, называется предел отношения соответствующего частного приращения функции z к приращению этого аргумента, когда последний стремится произвольным образом к нулю:
Частную производную можно обозначить
Вычислить частную производную.
Пример 1.
Пример 2.
Необходимым условием существования частной производной является непрерывность функции по соответствующим аргументам.
Пусть, например, есть частная производная в т. М(х,у).
Отсюда следует, что
Умножим
на 
здесь
,
т.е. z
есть непрерывная функция по аргументу
х.
Аналогично указывается непрерывность z по аргументу у.
Как
видно из примеров частные производные
функции
являются вновь функциями от обоих
аргументов х и у. Значит можно найти
частную производную от их частных
производных
Эти производные называются частными производными второго порядка.
Пример: вычислить частную производную первого и второго порядков.
Надо
заметить, что 
.
Это не случайное обстоятельство.
Теорема. Результат дифференцирования не зависит от порядка выполнения дифференцирования.
Согласно теореме будут равны между собой следующие частные производные:
