1.1.6. Сложение и вычитание синусоидальных функций времени с помощью комплексной плоскости. Векторная диаграмма.

Положим, что необходимо сложить два тока ( ) одинаковой частоты. Сумма их дает некоторый ток с той же частотой:

= ; (1.13)

= = .

= . (1.14)

Рис. 1.9. Комплексная амплитуда суммарного тока

Требуется найти амплитуду и начальную фазу тока С этой целью ток изобразим на комплексной плоскости(рис.1.9) вектором . Геометрическая сумма векторов и даст комплексную амплитуду суммарного тока .

Амплитуда тока определяется длиной суммарного вектора, а начальная фаза - углом, образованным этим вектором и осью +1.

Для определения разности двух токов(э.д.с., напряжений) следует на комплексной плоскости произвести не сложение, а вычитание соответствующих векторов.

Следует обратить внимание на то, что если бы векторы , и стали вращаться вокруг начала координат с угловой скоростью ω, то взаимное расположение векторов по отношению друг к другу осталось бы без именений.

Векторной диаграммой называют совокупность векторов на комплексной плоскости, изображающих синусоидально изменяющиеся функции времени одной и той же частоты и построенных с соблюдением правильной ориентации их относительно друг друга по фазе. Пример векторной диаграммы приведен на рис. 1.9.

1.1.7. Явление резонанса в электрических цепях.

Совпадение частоты вынужденных колебаний, сообщаемых извне физической системе, с частотой собственных свободных колебаний системы называется резонансом. В электрической цепи резонанс возникает при совпадении частот источника переменного тока и собственных свободных колебаний.электрической цепи. Цепь, содержащая индуктивность и емкость, может являться колебательным контуром - системой, в которой может происходить колебательный разряд емкости на индуктивность. Если емкость сначала заряжена до некоторого начального напряжения U_н , а затем замкнута на индуктивность, то в контуре возникает постепенно увеличивающийся разрядный ток . Сила тока должна возрастать постепенно, так как ее увеличению противодействует э.д.с. самоиндукции

= - L . По мере увеличения силы тока в магнитном поле индуктивности L накапливается энергия L . L

C L

Рис. 1.10. Схема колебательного контура

Благодаря этому ток в нагрузке не прекращается, когда емкость полностью разряжается ( ), так как э.д.с. самоиндукции противодействует уменьшению тока. Она поддерживает ток в том же направлении, в каком он протекал при разряде конденсатора, но уже за счет знергии магнитного поля индуктивности. Этот ток для емкости становится током, заряжающим ее в обратном направлении, т. е. обкладке, имеющей вначале положительный заряд, теперь сообщается отрицательный заряд. Если в колебательном контуре нет потерь, то перезарядка емкости будет продолжаться до тех пор, пока емкость не зарядится до первоначального напряжения U_н , При этом вся энергия из магнитного поля индуктивности вернется в электрическое поле емкости, после чего начнется разряд емкости на индуктивность при обратном направлении тока и т. д. В идеальном контуре эти колебания затухать не будут.

Резонанс напряжений возможен в неразветвленной цепи переменного тока, содержащей, кроме источника энергии, индуктивность L емкость C и активное сопротивление г (рис.1.11).

Рис.1.11. Цепь резонанса напряжений и ее векторная диаграмма

Согласно закону Ома при напряжении U на зажимах цепи сила тока в ней

= . (1.15)

Когда ω = = , то равны индуктивное и емкостное сопроитивления цепи , вследствие чего сила тока I = , z = r .

Если активное сопротивление цепи r невелико, то при резонансной частоте сила тока в цепи резко возрастает и одновременно сильно возрастают напряжения на емкости и индуктивности: они во много раз могут превысить напряжение на входных зажимах цепи. Такое превышение будет иметь место при

r < . Небольшие напряжения источника энергии могут создавать высокие напряжения на реактивных элементах цепи. Резонанс в цепи может возникнуть при изменении частоты источника энергии или при изменении собственной частоты контура путем изменения L и(или) C контура. Большое практическое значение имеет зависимость режима цепи , в которой возможен резонанс от частоты переменного тока, так называемые частотные характеристики цепи (рис. 1.12). При наличии в контуре сопротивления r найбольшее значение частичных напряжений будет соответствовать частоте, несколько отличной от частоты резонанса. В частности , напряжение на емкости

= . (1.16)

Рис. 1.12. Частотная характеристика неразветвленной цепи,

содержащей L, r, и C

Найбольшему значению как функции ω соответствует минимум подкоренного выражения в формуле 1.16. Угловая частота, соответствующая максимальному значению

(1.17)

Следовательно, напряжение на емкости будет иметь найбольшее значение при угловой частоте , меньшей, чем угловая частота резонанса (рис.1.12).

Подобным же образом можно найти, что найбольшее значение напряжения при индуктивности

= . (1.18)

Чем больше добротность контура Q = : r, тем ближе вершины характгристик ,I, и тем острее эти характеристики.

При параллельном соединении источника и колебательного контура (рис.1.13) могут иметь место явления резонанса токов. Закон Ома для такого параллельного соединения выражается формулой

I = U .

Рис. 1.13. Цепь резонанса токов и ее векторная диаграмма

Явления резонанса имеют место, когда реактивные проводимости(индуктивная и емкостная ) полностью взаимно компенсируются при , а угловая частота резонанса

ω = .

В этих условиях общий ток цепи Ì = Ùg и Токи в реактивных ветвях пропорциональны одному и тому же напряжению и поэтому при резонансе равны:

На рис 1.13 показана векторная диаграмма цепи при резонансе токов. Если в одинаковое число раз увеличить обе реактивные проводимости, т.е. заменить и через = n и ,то токи в этих ветвях увеличатся тоже в n раз, а общий ток I, даваемый источником электрической энергии, остается тем же I= Ug. Таким образом, в принципе можно неограниченно увеличивать токи в реактивных ветвях, а ток источника будет неизменным.

Индуктивный и емкостной токи противоположны по фазе и равны по амплитуде, а по отношению к источнику энергии они взаимно компенсируются, что объясняет название явления – резонанс токов. Когда индуктивный ток направлен к верхнему углу схемы – емкостной ток направлен от этого узла. Энергия из магнитного поля ветви индуктивности переходит в электрическое поле ветви емкости, а через четверть периода она возвращается назад в магнитное поле. Ток, поддерживаемый исчезающим магнитным полем индуктивности, служит зарядным током емкости, и наоборот, разрядный ток емкости возбуждает магнитное поле индуктивности.

На рис.1.14 показана частотная характеристика цепи, схема которой приведена на рис 1.13. Емкостной ток возрастает линейно, пропорционально частоте, Активный ток от частоты не зависит.

Рис. 1.14. Частотная характеристика цепи резонанса токов

Точка пересечения характеристик и определяет условия резонанса. При резонансе токов реактивный ток замыкается в кольце, образуемом индуктивностью и емкостью, а провода, соединяющие колебательный контур с источником энергии, и сам источник полностью разгружаются от реактивного тока.

В случае идеального контура при g=0 полная проводимость контура y = 0, а полное сопротивление z = ∞, таким образом, идеальный резонанс токов эквивалентен размыканию цепи.

1.2. Лабораторная работа № 1. Исследование переходных процессов в электрических цепях.

1.2.1. Цель работы: исследование переходных процессов и частотных характеристик в электрических линейных цепях.

2. Задание.

а) исследовать с помощью осциллографа переходные процессы в интегрирующей и дифференцирующей RC-цепях, для чего на вход цепочек подать импульсное напряжение с выхода калибратора осциллографа ( ).Определить постоянную времени цепочек. Составить дифференци­альные уравнения для обеих цепочек;

б) снять зависимость амплитуды выходного напряжения от частоты гар­монического напряжения для обеих цепочек, для чего ко входу цепочек под­соединить источник гармонического напряжения (U=3B), а к выходу - вольтметр переменного тока. Определить показания вольтметра на следую­щих частотах: 50 Гц, 500 Гц, 1000 Гц, 2кГц, 5 кГц, 10 кГц, 15 кГц, 20 кГц, 40 кГц, 60 кГц, 100 кГц. Результаты измерений занести в таблицу. Построить графики =f(f), откладывая значения частот в логарифмическом мас­штабе. Определить значение граничной частоты на уровне 0,7 для обеих цепочек. Нарисовать векторную диаграмму токов и напряжений для обеих цепочек на ;

в) снять амплитудную характеристику цепочек =f на f= , для чего меняя входное напряжение от 0 до 3 В измерить выходное напряже­ние. Результаты измерений занести в таблицу. Построить графики амплитуд­ных характеристик.

1.2.3.Отчет по работе должен содержать:

- наименование лабораторной работы;

- цель работы;

- схемы электрической цепи для каждого задания;

- таблицы с результата­ми эксперимента;

- графики экспериментальных и теоретических характе­ристик;

- осциллограммы напряжений;

- выводы.

1.2.4. Вопросы для самопроверки.

- определения для дифференцирующей и интегрирующей цепей;

- математические выражения функций решаемых дифференцирующей и интегрирующей цепями;

- области применения дифференцирующей и интегрирующей цепей;

- что собой представляют постоянные времени заряда и разряда?;

- как изменяется сопротивление конденсатора по мере его заряда от полностью разряженного до полностью заряженного состояния?;

- почему графики выходного напряжения с разными параметрами RC – цепей дифференцирующей и интегрирующей имеют различную крутизну?;

2. Лабораторная работа № 2. Исследование явления резонанса в электрических цепях.

1.3.1. Цель работы: Исследовать электрическое состояние линейной неразветвленной цепи синусоидального тока при различных приемниках.

Рис. 1.15. Схема неразветвленной цепи

1.3.2.Задание:

а) снять резонансные кривые (f), (f) и 1(f) изменяя частоту

входного колебания е (t) в пределах от 20 Гц до 20 КГц, при постоянном значении входного напряжения e(t)= ЗВ (эффективного значения);

б) определить частоты , 2∆ ;

в) определить величину активного сопротивления R и реактивных элементов L и С;.

г) рассчитать добротность контура - Q, волновое сопротивление - р, затухание цепи д;

д) рассчитать амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики в диапазоне частот

е) построить векторные диаграммы напряжений и токов контура на частотах f = , f = - D , f =

1.3.3. Отчет по работе должен содержать:

- наименование лабораторной работы;

- цель работы;

- резонансные кривые, (f), (f) и 1(f) при изменении частоты

входного колебания е (t) в пределах от 20 Гц до 20 КГц, при постоянном значении входного напряжения e(t)= ЗВ (эффективного значения);

- значения , ;

- величины активного сопротивления R и сопротивления реактивных элементов L и С;

- величины: добротность контура - Q, волновое сопротивление - р, затухание цепи д;

- результаты расчета амплитудно - частотной и фазо - частотной характеристики в диапазоне частот

- векторные диаграммы напряжений и токов контура на частоте f = ;

- выводы.

1.3.4. Вопросы для самопроверки:

- элементы электрических цепей. Понятия ”Электрическая цепь”, “Электрическая схема”;

- активное и реактивное сопротивления электрической цепи;

- закон Ома;

- законы Киргофа;

- параметры синусоидального тока;

- что собой представляет комплексное число;

- изображение синусоидально изменяющихся величин векторами на комплексной плоскости;

-сложение и вычитание синусоидальных функций времени с помощью комплексной плоскости;

- определение векторной диаграммы;

- резонанс напряжений;

- резонанс токов;

- частотная и фазовая характеристики цепи;

2. Электроника