Метод Эйлера первого порядка.



У2

У=f(Х) конечная величина

У1 dУ=У2-У1

dX=X2-X1

 dУ/dX У/Х (*)

0 Х1 Х2

Чем больше расстояние между точками, тем менее точно будет выражение (*).

Поскольку выражение производной dУ/dX для целей численного решения дифференциальных уравнений дифференциалы заменяются на соотношение У/Х, т.е. бесконечно малое приращение заменяется на конечно малое приращение, то вся группа этих методов решения называется методами конечных разностей.

Последовательность преобразований.

Функция

Х – шаг итерации (задается).Чем меньше Х, тем точнее решение

h =Х

Уравнение Эйлера первого порядка: У_i+1=У_i+h*f(Х,У) h-шаг по аргументу.

Метод Рунге-Кутта 4 порядка.

приращения считаются через специальные коэффициенты

Z₁=f(Х,У)

Z₂=f(Х+0,5*h; У+0,5*h*Z₁);

Z₃=f(Х+0,5*h; У+0,5*h*Z₂);

Z₄=f(Х+h; У+h*Z₃);

где h=Х – шаг по аргументу

У_+1=У_+h*(Z₁+2*Z₂+2*Z₃+Z₄)/6

Погрешность по методу Эйлера составляет шаг по аргументу в квадрате. Погрешность по методу Рунге-Кутта составляет шаг по аргументу в четвёртой степени.

Пример: k₁ k₂

В емкости протекает реакция А  В  С

Аппарат адиабатический

Математическая модель объекта:

Решение по методу Эйлера: h=

или

или

или

константы скорости вычисляются по уравнению Аррениуса при температуре Т₁

плотность и теплоемкость среды берется при температуре Т₁

или

константы скорости вычисляются по уравнению Аррениуса при температуре Т_i

плотность и теплоемкость среды берется при температуре Т_i

Решение по методу Рунге-Кутта:

Для первого уравнения системы: Х соответствует , а Y соответствует С_А

Для второго уравнения системы: Х соответствует , а Y соответствует С_В

Для третьего уравнения системы: Х соответствует , а Y соответствует С_С

Для теплового баланса: Х соответствует , а Y соответствует Т