I. Математическая постановка задачи оптимизации

Задание 1. Для организации охраны объектов различного типа подразделениям вневедомственной охраны (ВО) требуются ресурсы трёх видов: технические средства охраны (ТСО), личный состав, горюче смазочные материалы (ГСМ). Заданы нормативы расхода ресурсов каждого вида и прибыль, получаемая от охраны объекта каждого типа (табл. 1). Требуется:

• построить математическую модель задачи оптимизации плана охраняемых объектов подразделениями ВО;

Таблица 1

Показатель	Затраты на один охраняемый объект				Ресурс
	1 тип	2 тип	3 тип	4 тип
ТСО	3	1	2	4	440
личный состав	1	8	6	3	200
ГСМ	1	4	7	2	320
Прибыль	7	3	6	12	max

Прядок выполнения задания 1.

Пусть X₁ – необходимое количество охраняемых автостоянок; X₂ - необходимое количество охраняемых квартир; X₃ – необходимое количество охраняемых магазинов; X₄ – необходимое количество охраняемых складов. Тогда математическая модель задачи оптимизации плана охраняемых объектов подразделениями ВО будет иметь следующий вид:

F = 7X₁ + 3X₂ + 6X₃ + 12X₄ → max – целевая функция;

3X₁ + X₂ + 2X₃ + 4X₄ ≤ 440 – ограничение на ТСО;

X₁ + 8X₂ + 6X₃ + 2X₄ ≤ 200 – ограничение на личный состав;

X₁ + 4X₂ + 7X₃ + 2X₄ ≤ 320 – ограничение на ГСМ;

X_j≥0, j=1..4.

II. Основные этапы решения злп средствами Excel

• Задание 2. Для условия задания 1 средствами Excel определить какое количество объектов четырёх типов (автостоянка, квартира, склад, магазин) необходимо охранять подразделению ВО, чтобы получить максимальную прибыль.

Прядок выполнения задания 2.

Решение задачи линейного программирования в среде Excel начинается с ввода условий задачи. Ввод условий задачи состоит из следующих основных шагов:

1. Создание формы для ввода условий задачи;

2. Ввод исходных данных;

3. Ввод зависимостей из математической модели;

4. Назначение целевой функции;

5. Ввод ограничений и граничных условий.

Последовательно выполним эти пункты на примере задачи выбора объектов охраны с целью получения максимальной прибыли (задание 1).

1. Форма для ввода условий данной задачи может иметь вид представленный на рис. 2. Весь текст на рис. 2 является комментарием и на решение не влияет. Набрать данную форму в Microsoft Excel.

2. Далее необходимо ввести в сформированный бланк исходные данные (коэффициенты в целевой функции F и ограничениях, а также направление оптимизации целевой функции и знаки ограничений) (рис. 3).

При этом ячейки ВЗ:ЕЗ являются изменяемыми и в них будут заноситься результаты решения.

Рис. 2. Экранная форма Excel для ввода условий оптимизации

3. Ввод функциональных зависимостей для целевой функции и ограничений осуществляется с использованием Мастера функций.

Для этого необходимо активизировать требуемую ячейку (F6) и вызвать Мастер функций. В появившемся диалоговом окне нужно выбрать категорию функции  Математическая, а в нижнем окне выбрать функцию СУММПРОИЗВ и нажать клавишу <OK>.

Затем на экране отобразится диалоговое окно второго шага (рис. 4), где требуется ввести как первый (В$3:Е$3), так и второй массивы (В6:Е6). При вводе первого массива используются частично абсолютные ссылки на ячейки, при вводе второго  относительные, что в дальнейшем будет удобно при копировании формул.

Рис. 3. Сформированный бланк Excel для решения задачи оптимизации

Во все окна адреса ячеек удобно вводить не с клавиатуры, а протаскивая мышь по ячейкам, адреса которых необходимо ввести.

Зависимости для левых частей ограничений вводятся аналогично. При этом необходимо лишь менять адреса ячеек.

Для ускорения и удобства ввода можно скопировать содержимое ячейки F6 в ячейки F9, F10 и F11 (при этом все относительные ссылки изменятся автоматически).

Окончательная таблица с исходными данными представлена на рис. 5 (для наглядности выбран режим представления формул, который использовать не нужно!).

Рис. 4. Диалоговое окно функции «СУММПРОИЗВ»

Рис. 5. Итоговый бланк Excel для решения задачи оптимизации

4. После окончания ввода исходных данных осуществляется вызов программы Поиск решения. Для этого необходимо выбрать в меню пункт Сервис, а в нём  Поиск решения… (Solver…), в результате чего на экране появится окно поиска решения (рис. 6).

В поле Установить целевую ячейку требуется ввести имя ячейки, в которую введена зависимость для целевой функции (в данном случае F6). В качестве направления оптимизации выбирается максимизация. В поле Изменяя ячейки вводятся адреса ячеек, соответствующих варьируемым переменным задачи (ВЗ:ЕЗ). Далее необходимо ввести ограничения. Для добавления ограничений щёлкните по кнопке <Добавить> (Add), после чего появляется окно добавления ограничений (рис. 7).

Рис. 6. Общий вид окна надстройки Excel «Поиск решения»

Рис. 7. Окно добавления ограничений надстройки Excel «Поиск решения»

5. Вводятся граничные условия для переменных. Ограничения можно ввести в виде В3 >= 0, С3 >= 0, D3 >= 0, Е3 >= 0. Затем вводятся ограничения на ресурсы: F9 <= H9, F10 <= Н10, F11 <= H11. Ограничения вводят последовательно. Сначала щёлкаете по кнопке <Добавить>, далее в появившихся диалоговых окнах вводится левая часть, знак и правая часть каждого ограничения. После ввода последнего ограничения и нажатия <ОК> произойдет возврат в окно Поиск решения.

Заполненная в результате ввода ограничений форма поиска решений представлена на рис. 8.

6. Решение задачи производится сразу же после ввода данных, когда на экране находится диалоговое окно Поиск решения. Перед началом решения необходимо установить параметры решения, для чего в окне поиска решения выбирается кнопка <Параметры> (Options). Диалоговое окно параметров поиска решения представлено на рис. 8.

С помощью команд, находящихся в этом диалоговом окне, можно вводить условия для решения задач оптимизации всех классов. Команды, используемые по умолчанию, подходят для решения большей части практических задач.

Рис. 8. Диалоговое окно параметров поиска решения

7. Для решения задачи линейного программирования необходимо установить флажок Линейная модель в окне Параметры поиска решения, что обеспечит использование симплексного метода. Далее после щелчка по кнопке <ОК> произойдет возврат в окно Поиск решения. Запуск процесса решения задачи осуществляется щелчком по кнопке <Выполнить>.

Решение задачи занимает несколько секунд, после чего на экране появляется диалоговое окно Результаты поиска решения. При решении рассматриваемой задачи в окне появится сообщение о том, что решение найдено. В данном окне предоставляется возможность или сохранить найденное решение во влияющих ячейках модели, или восстановить исходные данные. Для этого необходимо отметить нужный пункт.

8. Результирующие значения всех переменных записываются в ячейки В3:Е3 исходной задачи. Соответствующее значение целевой функции заносится в ячейку F6, а значения левых частей ограничений - в ячейки F9:F11. Выпишите в отчёт по работе результаты решения задачи оптимизации и полученное значение целевой функции.

9. Решение задачи целочисленного линейного программирования осуществляется аналогично. Но на искомые переменные в диалоговом окне Добавление ограничения накладывается условие целочисленности (рис. 9). После добавления ограничений запустите процесс поиска решения заново и сравните полученные результаты с п. 8.

Рис. 9. Выбор условия целочисленности результатов оптимизации

Доложите преподавателю о результатах выполнения задания.

Завершите сеанс работы с Windows. Для этого нажмите кнопку <Пуск>, выберите пункт «Завершение сеанса kursant». В появившемся диалоговом окне нажмите кнопку <Выход>.

Сделайте выводы по работе и оформите отчёт.

Письменный отчёт должен содержать:

• наименование и цель занятия, учебные вопросы;

• краткие теоретические сведения по отрабатываемым учебным вопросам;

• постановку задачи оптимизации, математическую модель решаемой задачи, результаты моделирования в Microsoft Excel;

• выводы о проделанной работе.