С оставление уравнений движения

За обобщенные координаты (рис. 35) примем цилиндрические координаты, определяющие положение центра масс захвата с грузом . Кинетическая энергия робота при неподвижном основании и уравновешенном звене 1 определяется как:

где - момент инерции звена 1 относительно оси z;

- момент инерции звена 1 относительно оси, проходящей через центр масс параллельно оси z₁;

- массы звеньев 2 и 3;

- расстояние от оси z до центра масс звена 2.

Уравнения движения запишем в форме:

Где

При определении обобщенных сил считаем, что поступательные приводы звеньев 2 и 3 (например, гидроцилиндры) расположены на подвижных звеньях и создают движущие силы и , а вращательный привод звена 2 создает движущий момент пары сил . Кроме того учитываем силы тяжести звеньев и силы трения в парах 1-2, 2-3. Силы трения и момент сил трения во вращательной паре считаем постоянными и известными из опытных данных. Для случая движения звена 2 вверх и звена 3 от оси z имеем:

Выполняя дифференцирование и подставляя значения обобщенных сил, получаем уравнения движения:

Закон изменения координаты z находится непосредственно из уравнения, а для определения координат и имеем систему двух нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка, которая обычно решается численными методами на ЭВМ.

При цикловом управлении роботом часто перемещают захват сначала изменением координаты , а затем координаты R (или наоборот). Из уравнений движения следует, что изменение координаты вызывает одновременно изменение координаты R. Во избежание взаимодействия и взаимовлияния движения по координатам и R применяют фиксирующие устройства в заданных конечных положениях звеньев манипулятора.

Определение усилий приводов манипулятора при реализации движения объекта по заданной траектории

З адачи данного типа относятся к классу так называемых обратных задач динамики, сводящихся к решению обратных задач теории дифференциальных уравнений. Решение обратных задач динамики манипуляторов позволяет в различных постановках решать вопросы их проектирования и управления.

Кинематическая схема манипулятора приведена на рис. 36. Звено 1 выполняет поворот на угол вокруг вертикальной оси z, звено 2 – вертикальное перемещение, звено 3 – горизонтальное перемещение.

Пусть необходимо обеспечить движение захвата манипулятора по эллиптической траектории с заданным законом изменения скорости.

Траекторию движения захвата задаем как линию перемещения цилиндрической поверхности и плоскости:

А закон изменения скорости функцией:

,

где - декартовы координаты захвата,

- проекции вектора скорости на эти оси.

Для получения дифференциальных уравнений движения данной схемы механической системы воспользуемся методом Лагранжа. За обобщенные координаты примем . Тогда уравнения Лагранжа примут вид:

где - кинетическая энергия системы в ее абсолютном движении,

- обобщенные силы, соответствующие обобщенным координатам ;

- коэффициенты вязкого трения;

- момент привода 1,

- усилия приводов звеньев 2 и 3.

Тогда уравнения можно записать:

где - вес звеньев 2 и 3.

Кинетическая энергия манипулятора

где , а - момент инерции звена 1, и - моменты инерции звеньев 2 и 3 относительно их центральных осей, параллельных оси вращательной пары,

- расстояние центра масс звена 2 от его оси вращения,

- расстояние захвата от центра масс звена 3.

Дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах имеют следующий вид:

Декартовы координаты точек траектории и проекции скорости на эти оси через обобщенные координаты выражаются следующим образом:

Тогда функции , выражающие заданные свойства движения системы, в обобщенных координатах примут вид:

Как следует из общего решения обратных задач динамики, для того, чтобы система дифференциальных уравнений описывала движение механизма с заданными свойствами, которые выражаются функциями необходимо и достаточно, чтобы полные производные по времени от этих функций равнялись нулю и чтобы начальное состояние системы также удовлетворяло этим заданным свойствам.

Учитывая, что частные производные , то получим:

(54)

(55)

Дифференцируя (54) по времени и объединяя с (55), получим неоднородную систему трех алгебраических линейных уравнений относительно :

Задание законов изменения скорости или касательного ускорения захвата манипулятора при его движении по траектории позволяет однозначно определить . Далее решая систему трех уравнений определяются . Зная координаты, скорости и ускорения захвата из уравнений Лагранжа можно определить , которые должны развивать приводы для осуществления заданного движения захвата манипулятора.

Знание этих сил позволяет построить алгоритм управления движением промышленного робота по заданной программе.