2. Представление орграфа матрицей, - каков смысл возведения матрицы в квадрат, куб и т.Д.

Орграфы – это ориентированные или направленные графы. В орграфе вершины соединяются дугами, причём одна вершина называется началом, а другая концом дуги. Дуга исходит из своего начала и заходит в свой конец. Дуга орграфа называется петлёй, если её начало и конец являются одной и той же вершиной. Дуги называются кратными, если начала и концы у них совпадают. Петли тоже могут быть кратными. Две дуги орграфа составляют симметричную пару дуг, если начало одной из них является концом другой и наоборот

Матричное представление графов

Для обработки на ЭВМ графы удобно представлять в виде матриц смежности и инциденций.

Матрица смежности – это квадратная матрица размерностью n x n, (где n – число вершин графа ), однозначно представляющая его структуру.

A = {a_ij}, i, j = 1, 2, ..., n, а каждый элемент матрицы определяется следующим образом:

a_ij = 1, если   дуга (х_i, х_j),

a_ij = 0, если нет дуги (х_i, х_j).

Если элемент на диагонали (i=j) равен единице, значит, вершина i имеет петлю.

Матрица инциденций представляет собой прямоугольную матрицу размером n x m, где n – количество вершин графа, а m– количество дуг графа. Обозначается матрица инциденций B = {b_ij}, i = 1, 2, ..., n, j = 1, 2, ..., m .

Каждый элемент матрицы определяется следующим образом:

b_ij = 1, если х_i является начальной вершиной дуги a_j,

b_ij = –1, если х_i является конечной вершиной дуги a_j,

b_ij = 0, если х_i не является концевой вершиной дуги a_j или если a_j является петлей.

Таким образом, нулевой столбец j в матрице инциденций свидетельствует о том, что дуга a_j яляется петлей.

На рис. 1.5, а,б приведен граф и его матрица смежности, по которой можно найти характеристики вершин. Так сумма элементовi -ой строки матрицы дает полустепень исхода вершины х_i, а сумма элементов i -го столбца дает полустепень заходавершины х_i. По матрице смежности можно найти прямые и обратные отображения. Рассмотрим i -ю строку матрицы. Если элемент a_ij=1, то элемент графа х_j входит в отображение Г(х_i). Например, во 2-й строке матрицы А ( рис. 1.5,б) единицы стоят в 2-м и 5-м столбцах, следовательно, Г(х₂) = { х₂, х₅}.

Рис. 1.5. Орграф и его матричное представление: а – орграф; б – матрица смежности; в – матрица инциденций

Для графа на рис. 1.5,а матрица инциденций приведена на рис. 1.5,в. Поскольку каждая дуга инцидентна двум различным вершинам, за исключением того случая, когда дуга образует петлю, то каждый столбец либо содержит один элемент равный 1 и один – равный – 1, либо все элементы столбца равны 0.

Смысл возведения в степень: aij в квадрате будет показывать сколькими способами можно пройти из вершины i в вершину j, пройдя по двум ребрам. В кубе — по трём рёбрам и т. д.

Билет № 10

1. Зачем и почему моделируют?

Зачем моделируют(цель моделирования):

1. Чтобы прогнозировать результаты

2. Чтобы определить возможности управления процессом (обществом)

3. Чтобы испытать объект и определить экстремальное воздействие на модель

4. Чтобы синтезировать из отдельных малых моделей более сложный объект

Почему моделируют ( что вынуждает моделировать):

1. Не все прямые эксперименты этичны

2. Некоторые вещи непосильно решить напрямую

3. Некоторые вещи в реальности проводить опасно

4. Невозможность осуществления «онлайн»: мы не можем посмотреть на процесс через тысячелетие, т.к. это долго, а мы смертны)