3. Кручение вала
Кручением называется вид нагружения, при котором к брусу прикладываются внешние скручивающие моменты, а в поперечных сечениях возникает единственный внутренний силовой фактор - крутящий момент Mк.
Брусья, передающие крутящий момент называются валами.
Зная величины внешних скручивающих моментов и используя метод сечений, мы можем определить крутящие моменты, возникающие в поперечных сечениях вала. В местах приложения внешних моментов ординаты эпюры скачкообразно изменяются на величину приложенного внешнего момента.
Условие прочности при кручении формулируется следующим образом: максимальные касательные напряжения, возникающие в опасном сечении вала, не должны превышать допускаемых напряжений и записывается в виде
.
Величина
называется моментом сопротивления
сечения при кручении или полярным
моментом сопротивления сечения
Для сплошного круглого сечения
.
Для кольцевого сечения
,
где
.
Из условия прочности можно определить диаметр вала:
- для сплошного сечения
,
- для кольцевого сечения
,
Задача 5. Кручение вала
К стальному валу круглого поперечного сечения (см. схемы к задаче 5) приложены сосредоточенный момент М и распределённый момент m необходимо:
1. Составить аналитические выражения для определения внутреннего крутящего;
2. По полученным выражениям построить эпюру крутящего момента;
3. Из условия прочности по касательным напряжениям определить диаметр поперечного сечения;
4. Построить эпюру углов закручивания.
Численные значения приведены в таблице 3.1.
Схемы к задаче 5
Схемы к задаче 5
Таблица 3.1
-
№ варианта
М, кНм
m, кНм/м
а, м
1
20
90
0,8
2
40
70
0,9
3
50
60
1
4
60
50
1,1
5
70
10
1,2
6
80
20
0,5
7
10
70
0,8
8
20
60
0,7
9
50
70
1,3
10
30
80
1
Принять для всех
валов следующие соотношения:
,
.
Пример решения задачи 5
Для стального вала круглого поперечного сечения (рис. 3.1,а) необходимо:
1. Построить эпюру крутящего момента;
2. Из условия прочности по касательным напряжениям определить диаметр поперечного сечения и построить эпюру углов закручивания.
Дано: М=50кНм; m=10кНм/м; а=1м;
Решение
1. Для определения
внутренних усилий в стержне пользуются
методом сечений. Для этого стержень
рассекают плоскостью в произвольном
сечении z.
Влияние любой из отброшенных частей
стержня можно заменить только одним
внутренним усилием – крутящим моментом
.
Для его определения составляют уравнение
равновесия оставшейся части. Таким
образом, крутящий момент определяется
как сумма скручивающих нагрузок
приложенных к одной из его частей.
Крутящий момент будем считать
положительным, если при взгляде на
сечение со стороны внешней нормали он
стремится повернуть оставшуюся часть
стержня против хода часовой стрелки.
Пользуясь методом сечений, составим аналитические уравнения для определения крутящего момента: