Решение
1. Брус состоит из трёх участков. Границами участков являются сечения, к которым приложены внешние силы, или сечения, где изменяются размеры поперечных сечений.
Величину внутренних продольных усилий определим, используя метод сечений. При этом рассматриваем всё время правую отсечённую часть бруса.
Продольную силу N считаем положительной, если нагрузка, её создающая, вызывает растяжение рассматриваемого участка, т.е. направлена от рассматриваемого сечения. Нагрузка, вызывающая сжатие рассматриваемой части бруса, т.е. направленная к сечению, создаёт отрицательную продольную силу. В соответствии с расчётной схемой (рис. 2.1,а) аналитические зависимости для N будут иметь следующий вид:
тогда
.
После подстановки численных значений, получим:
.
На основании полученных значений строим эпюру продольных сил (рис.2.1,б).
Рис. 1.4 Схема нагружения и эпюры N, σ и Δl для ступенчатого
статически определимого бруса
2. Эпюру нормальных напряжений получим, разделив значения продольной силы N на соответствующие площади поперечных сечений бруса (рис. 1.4,в). Знак продольной силы N определяет и знак соответствующего нормального напряжения .
,
подставляя 2 крайних значения х2
будем иметь:
3. Из условия прочности по нормальным наибольшим напряжениям растяжения и сжатия определим параметр F, а затем площади поперечных сечений каждого участка бруса.
Из условия прочности по растягивающим нормальным напряжениям находим:
,
отсюда
.
Из условия прочности по сжимающим нормальным напряжениям находим:
,
отсюда
.
Окончательно выбираем параметр F=250мм2.
Определим площади поперечных сечений каждого участка:
F1=F=250мм2, F2=2F=500мм2, F3=3F=750мм2.
3. Зная площади поперечных сечений можно построить эпюру перемещений (рис.1.4, г). Проще расчёт перемещений вести от заделки, т.е. за точку отсчёта брать сечение, перемещение которого равно 0.
Т.к. уравнение для
перемещения на втором участке содержит
квадратичную функцию, то графиком
функции перемещения на втором участке
будет являться парабола, причём в
сечении, где
парабола будет иметь экстремум. Приравняв
уравнение для продольной силы
к 0, получим расстояние до этого сечения.
где
-
расстояние до сечения, в котором
.
Подставляя, полученное значение для , получим значение экстремума на параболе:
По найденным значениям строим эпюру перемещений (рис.1.4, г).
Задача 3. Расчёт статически неопределимого ступенчатого бруса при растяжение (сжатие)
Для статически неопределимого бруса с жёстко защемлёнными концами, нагруженного продольной нагрузкой как показано на схеме к задаче 3 необходимо:
1. Построить эпюры
продольных сил N,
нормальных напряжений
и перемещений
;
2. Подобрать величину площади поперечных сечений всех участков бруса методом допускаемых нагрузок,
Необходимые данные для решения задачи взять из таблицы 1.3.
Схемы к задаче 3
