Пример решения задачи 1

Для статически определимой стержневой системы (см рис. 1.2), загруженной силой Р необходимо:

1. Определить продольную силу в каждом из стержней, поддерживающих жёсткий брус.

2. Подобрать размеры поперечного сечения стержней.

Рис. 1.2 Схема к примеру решения задачи 1

Стержень 1 стальной, круглого поперечного сечения. Допускаемое напряжение .

Стержень 2 деревянный, квадратного поперечного сечения. Допускаемое напряжение .

Стержень 3 дюралюминиевый, трубчатого поперечного сечения. Допускаемое напряжение . Отношение наружного и внутреннего диаметра составляет .

Высоту жёсткого бруса считать малой по сравнению с размерами конструкции и в расчётах её не учитывать.

Р=2кН; а=2м; в=2,5; с=0,5м; α=30⁰.

Решение

Рассмотрим равновесие жёсткого бруса (рис.1.2). Для освобождения бруса от связей мысленно рассечем стержни и заменим связи их реакциями , и . Внутренние усилия, возникающие в стержнях, определим, составив уравнения равновесия.

Из рис.1.2 не трудно заметить, что угол наклона стержня 1 и стержня 3 к оси х одинаков. Обозначим этот угол через α.

Уравнение проекций всех сил на ось х:

. (1.1)

Рис. 1.3 Расчётная схема к примеру решения задачи 1

Уравнение проекций всех сил на ось у:

. (1.2)

Сумма моментов всех сил относительно точки О:

. (1.3)

Определим cosα и sinα.

Решая систему трёх уравнений найдём усилия в стержнях.

Из уравнения (1.3) определяем усилие в первом стержне N₁:

.

Из уравнения (1.1) определяем усилие в третьем стержне N₃:

.

Из уравнения (1.2) определяем усилие во втором стержне N₂:

Получили усилия в стержнях одинаковые. Что бы убедиться в правильности наших вычислений сделаем проверку. Составим проверочное уравнения – сумма моментов от всех сил относительно точки А:

Размеры поперечных сечений определяют из условия прочности при растяжении-сжатии:

.

Несмотря на то, что усилия в стержнях получились одинаковые, размеры поперечных сечений будут отличаться, так как они выполнены из различных материалов, с разными допускаемыми напряжениями.

1 стержень стальной круглого поперечного сечения. Определим из условия прочности диаметр поперечного сечения стержня:

.

2 стержень деревянный квадратного поперечного сечения. Определим сторону квадрата поперечного сечения:

.

3 стержень дюралюминиевый трубчатого поперечного сечения. Определим внешний и внутренний диаметры поперечного сечения:

D=1,2d=86,9мм

Задача 2. Расчёт статически определимого ступенчатого бруса при растяжение (сжатие)

Для статически определимого ступенчатого бруса с жёстко защемлённым концом (см. схемы к задаче 2), нагруженного продольными усилиями Р₁ ,Р₂ , q₁ и q₂ (см. таб. 1.2), необходимо:

1. Построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений  и перемещений .

2. Подобрать величину площади поперечных сечений для всех участков бруса из условия прочности по допускаемым нормальным напряжениям при растяжении и сжатии.

Таблица 1.2

№	Р1, кН	Р2, кН	q1, кН/м	q2, кН/м
1	10	80	10	70
2	20	70	15	80
3	30	60	20	90
4	40	50	25	60
5	50	40	30	50
6	60	30	35	40
7	70	10	40	30
8	80	20	45	20
9	10	50	55	50
10	20	70	65	20

Принять для всех вариантов следующие соотношения: , , Е=10⁵МПа, а=1м.

Схемы к задаче 2

Схемы к задаче 2

Схемы к задаче 2

Пример решения задачи 2

Для ступенчатого бруса (см. рис.1.4,а) с жёстко защемлённым концом необходимо:

1. Построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений  и перемещений .

2. Подобрать величину площади поперечных сечений всех участков бруса из условия прочности по нормальным напряжениям, используя следующие числовые значения:

Р₁=30 кН; Р₂=20 кН; q₂=20 кН/м; а=1м; ; ; Е=1,810⁵МПа; F₁=F; F₂=2F; F₃=3F.