13. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.

Если уравнение 2 порядка содержит неполный набор аргументов, то возможно понизить порядок равнения до первого.

Уравнение вида решается последовательным интегрированием.

Уравнение второго порядка , не содержащее функцию , подстановкой приводится к уравнению первого порядка .

Уравнение вида , не содержащее аргумента , подстановкой приводится к уравнению первого порядка .

Уравнение вида , не содержащее аргумента и функцию , можно интегрировать как заменой , так и подстановкой .

14. Комплексные числа.

Алгебраическая форма числа: , - действительная часть, - мнимая часть, - мнимая единица, .

Сопряженное число .

Арифметические действия над комплексными числами в алгебраической форме проводятся как действия над алгебраическими выражениями. При умножении , при делении дробь умножается и делится на число, комплексно сопряженное знаменателю дроби. При этом:

.

Тригонометрическая форма числа: , где - модуль числа; Отсюда - аргумент числа.

Показательная (экспоненциальная) форма числа: . Формула Эйлера: . Действия над комплексными числами. Произведение: ; Деление: .

Возведение в степень (формула Муавра): .

Извлечение корня:

, .

15. Линейные однородные уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами.

Уравнение вида , все члены которого первой степени относительно функции и ее производных, а коэффициенты - постоянные величины, называется линейным однородным. Общий интеграл находится с помощью характеристического уравнения . Если:

а). Корни характеристического уравнения действительны и различны, то общее решение выражается формулой ;

б). Если действительный корень имеет кратность 2 ( , то общее решение имеет вид ;

в). Если характеристическое уравнение имеет пару однократных комплексно-сопряженных корней , то общее решение имеет вид .

16. Метод неопределенных коэффициентов для линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффи­циентами.

Метод неопределенных коэффициентов. Метод применим только для линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью (квазимногочленом) , где - показатель правой части.

Уравнение вида , где коэффициенты - постоянные величины, называется линейным неоднородным.

Общее решение имеет вид: , где - общее решение линейного однородного уравнения; - частное решение линейного неоднородного уравнения, которое составляется по виду правой части и зависит от значений корней характеристического уравнения.

а). Если , то , где - многочлен той же степени, что и только с неопределенными коэффициентами; - количество корней характеристического уравнения, равных 0: .

б). Если , то , где - количество корней характеристического уравнения, равных :

в). Если , то , где - количество корней характеристического уравнения, равных : .

г). Если , то , где - многочлены степени , ; - количество корней характеристического уравнения, равных : .