1. Исследование и построение графиков функций.

Схема исследования графика функции.

1. Найти область определения функции, множество значений (по возможности), точки разрывов, вертикальные асимптоты.

Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если и (или) . Ищем точки бесконечных разрывов функции, в которых .

2. Исследовать функцию на четность и нечетность, периодичность.

- четная функция, - нечетная функция..

3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

4. Исследовать функцию на монотонность, найти точки экстремума.

Монотонность: функция возрастает (убывает), если Точки, подозрительные на экстремум (критические): не существует.

1 достаточное условие существования экстремума. Если при переходе через критическую точку производная меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то в этой точке существует максимум (минимум) функции.

5. Найти точки перегиба, определить направление выпуклости графика функции.

Выпуклость вверх (вниз) на , если на ( ).

Точки, подозрительные на перегиб: не существует.

Достаточное условие существования перегиба. Если при переходе через точку, подозрительную на перегиб, вторая производная меняет знак, то в этой точке перегиб - изменение направления выпуклости функции – существует.

6. Найти наклонные асимптоты графика функции.

Наклонные асимптоты графика : где , Горизонтальная асимптота при :

7. Построить график функции.

2. Непосредственное интегрирование.

Свойства интегралов. 1. . 2. . 3. .

4. . 5. .

Таблица интегралов. 1. . 2. ; ; ; ; . 3. . 4. ; . 5. . 6. . 7. . 8. .

9. . 10. . 11. . 12. . 13. . 14. ; . 15. . 16. . 17. . 18. . 19. .

20. . 21. .

22. .

3. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование иррациональностей.

Формула замены переменной в неопределенном интеграле (метод подстановки).

.

После вычисления интеграла необходимо вернуться к старой переменной .

При интегрировании выражений, содержащих корни, необходимо сделать такую подстановку, чтобы корни извлекались. Пример. В сумме подстановка , тогда , .

4. Замена переменной в неопределенном интеграле. Подведение функции под знак дифференциала.

Подведение под знак дифференциала. Если подынтегральное выражение содержит функцию и ее производную, то эту функцию можно подвести под знак дифференциала:

.

Таблица основных дифференциалов.

; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; .

Если интеграл является табличным: , то интеграл от функции линейного аргумента . Здесь .

5. Интегрирование по частям.

Формула интегрирования по частям неопределенном интеграле:

.

Интегралы, вычисляемые по частям.

I группа. ; ; . Здесь ,

. Интегрирование по частям раз.

II группа. ; ;

. Здесь , . Один раз по частям.

III группа.

; . Здесь , . Интегрирование по частям два раза, далее интеграл находится алгебраически, появляясь в правой части с коэффициентом, отличным от нуля.

6. Интегрирование квадратных трехчленов и рацио­нальных дробей.

Интегралы, содержащие квадратный трехчлен в знаменателе, находятся выделением полного квадрата из трехчлена:

и линейной заменой переменной .

Если знаменатель правильной дроби разлагается на множители (квадратный трехчлен не имеет действительных корней), то данную дробь можно представить виде суммы простых дробей в следующем виде:

.

Разложение квадратного трехчлена: , где - корни трехчлена