5. Преобразование детерминированных сигналов линейными цепями

Рассмотренные выше математические модели различных сигналов и линейных цепей позволяют перейти к рассмотрению задач прохождения сигналов через линейные цепи. В общем случае задача анализа прохождения сигналов через линейные цепи формулируется следующим образом. Задан входной сигнал и его характеристики (временные, спектральные, операторные). Входной сигнал поступает на линейную цепь (рис. 5.) с известными характеристиками (временными, спектральными, операторными). Необходимо найти соответствующие характеристики входного сигнала. При этом в соответствии с целями анализа в большинстве случаев нет необходимости находить все характеристики выходного сигнала, а ограничиться некоторыми из них, например, формой выходного сигнала или его спектром . Это в свою очередь, определяет выбор метода анализа.

5.1. Пассивные апериодические цепи

Рассмотрим задачу прохождения прямоугольного видеоимпульса через интегрирующую цепь. Для временного анализа целесообразно выбрать временной метод.

Как известно, в основе временного метода лежит интеграл Дюамеля

,

где – импульсная характеристика цепи.

Представим прямоугольный импульс с амплитудой и длительностью в виде

, (6.1)

где – единичная функция.

Н

Рис.6.1

а рис. 6.1 изображен прямоугольный импульс в виде комбинации двух ступенчатых функций вида . Импульсная характеристика интегрирующей цепи приведена в таблице 5. Тогда, подставляя (6.1) и выражение для импульсной характеристики в выражение для интеграла Дюамеля, можно вычислить . Вместе с тем, так как в качестве сигналов, формирующих прямоугольный импульс выступают единичные функции, а реакция линейной цепи на единичную функцию представляет собой переходную характеристику, то выходной сигнал в рассматриваемом случае можно представить в виде

. (6.2)

Так как для интегрирующей цепи переходная характеристика

,

то подстановка этого выражения в (6.2) после преобразований приводит к виду

. (6.3)

На рис. 6.1 (нижняя диаграмма) показана форма импульса на выходе интегрирующей цепи.

Как следует из рисунка, инерционность цепи проявляется в искажении переднего и заднего фронтов. Скорость нарастания и убывания фронтов зависит от постоянной времени цепи . Количественно величину искажений можно оценить, например, временем нарастания и временем спада соответственно переднего и заднего фронтов до заданного уровня (рис. 6.1).

Время нарастания определяется как время в течение, которого передний фронт импульса достигает значения , т.е. выходной сигнал

, (6.4)

где – наперед заданное значение (обычно в пределах ).

Тогда из (6.3) и (6.4) при следует уравнение

,

решение, которого дает выражение

. (6.5)

Время спада определяется как время, в течение которого задний фронт импульса достигает значения , т.е.

, (6.6)

где – наперед заданное значение (обычно в пределах ),

, (6.7)

– значение сигнала на выходе цепи при .

Подстановка (6.6) и (6.7) в нижнее выражение (6.3) после преобразований дает

,

откуда следует

. (6.8)

Знание и важно с практической точки зрения. На интервале времени от до вершину импульса можно считать плоской, что позволяет с минимальными ошибками регистрировать импульсы при передаче цифровых сообщений. Значение же позволяет оценить влияние данного сигнала на соседние (так называемые межсимвольные искажения) и принять меры к их уменьшению.

Кратко остановимся на задаче прохождения прямоугольного импульса через дифференцирующую цепь. Воспользовавшись выражением (6.2) с учетом того, что переходная характеристика дифференцирующего звена

,

п олучим

. (6.9)

И

Рис.6.2

з выражения (6.9) следует, что на интервале времени от до значение выходного сигнала уменьшается по экспоненте с до . В момент времени выходной сигнал скачком изменяется до величины

. (6.10)

Очевидно, форма сигнала на выходе существенно зависит от соотношения между длительностью импульса и постоянной времени цепи . Как правило, при решении практических задач радиотехники выбирают .

В этом выражении (6.10) слагаемое и значение сигнала в момент времени можно полагать равным

.

Таким образом, при выходной сигнал представляет собой совокупность двух остроконечных разнополярных импульсов экспоненциальной формы (рис. 6.2).

Длительность импульсов определяется из условия

,

где – наперед заданный коэффициент (обычно ). Тогда из верхнего уравнения (6.9) при следует

. (6.11)

При указанном соотношении между и длительность выходных импульсов оказывается гораздо меньше длительности входного импульса. Поэтому дифференцирующую цепь называют укорачивающей цепью. Выходные импульсы такой цепи используются для формирования последовательности коротких импульсов, для запуска импульсных устройств и при решении ряда других задач радиотехники.