После известного поединка Александра Пересвета с Челубеем (Темир-мурзой) монгольская конница попыталась осуществить свою обычную инициативу по расстрелу русских полков из дальнобойных луков, но на этом рубеже ее встретил Сторожевой полк из лучников и пресек эти действия.
Тогда в бой была введена тяжело вооруженная генуэзская пехота, связав на себя боем на уничтожение и Сторожевой и Передовой русские полки.
Одновременно начала атаку монгольская конница на Полк правой руки.
Поскольку Полк был составлен из лучших бойцов и с лучшим вооружением, а маневрам монгольской конницы мешала заболоченная местность при р. Нижний Дубняк, то атака сорвалась, и острие конной атаки переместилось на Полк левой руки.
Полк левой руки, неся потери, стал отступать под прикрытие Резервного полка; в это же время генуэзская пехота связала боем основные силы Центрального полка.
Какое-то время было временем просто кровавой сечи, в которой было как определенные колебания противостоящих сил, так и медленное продвижение на левом русском фланге монгольской конницы, рвущейся к берегу и переправам через р. Дон, чтобы пресечь отступление русских войск, не допустить прихода подкреплений, обеспечить возможное включение в битву войск литовского союзника и, наконец, обеспечить обходной конный маневр по тылам русских войск с целью их окружения.
Выйдя передовыми отрядами к Дону, монголы не обнаружили ни переправ, ни литовцев, но сил на решительное окружение русских войск уже не хватало - их сковали бои с Полком левой руки и копейщиками Резервного полка.
Наступил момент истины для Мамая, и он включил в прорыв Стратегический резерв.
Как только в прорыв вошли свежие силы Стратегического резерва и повернулись спиной к дубраве, ловушка захлопнулась – в дело пошел Засадный полк.
Домашнее задание: построить орграф и определить гамильтонов путь в задачах:
«в каком порядке одеваться бойцу- новобранцу, чтобы не получить наряды вне очереди при утреннем построении»;
Ф – галифе; М – подсумок; Г – гимнастерка; Р – ремень; Ш – скатка из шинели;
П – портянки; С – сапоги; К – «калаш».
Г М; Г Р; Р Ш; П С; Ф П; Ф Р; Ф С; Ф Г; П К; Г Ш; Р М
Ш К; М Ш; … ?
«на основе анализа действий противостоящих сторон при протекании сражения на Куликовом поле представить результат анализа в виде символьной записи аналогичных (как в задаче 1) неравенств, и применив методические правила (в том числе и из Приложения) построить алгоритм победы русских войск».
Литература
Иваницкий Г.Р. Ритмы развивающихся сложных систем, Математика/кибернетика, Новое в жизни, науке, технике, Вып.9, Издательство «Знание», 1988.
К.Берж. Теория графов, ИЛ, М., 1962.
О. Оре, Графы и их применения, “Мир”, М., 1965.
Шведовский В.А. Поиск формулы рангового упорядочения факторов комплексного повышения уровня сплоченности в рабочем коллективе // Комплексный подход к коммунистическому воспитанию, ИСИ АН СССР – ССА, М., 1977.
А.Кофман, Р.Фор. Займемся исследованием операций, «МИР», М., 1966.
Приложение. Описание алгоритма Фаулкса [5, стр. 246].
Рассмотрим шесть операций: A, B, C, D, E, F, между которыми существуют следующие соотношения:
A B B C C D E D F D
A D B D F E
AF BE
BF
Цель задачи состоит в том, чтобы найти (если это возможно) пути, проходящие один и только один раз через каждую из точек и удовлетворяющие написанным соотношениям: это гамильтоновы пути.
A B C D E F
A |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
B |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
C |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
D |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
E |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
F |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Этой матрице соответствует следующий ориентированный граф, на котором и надо искать гамильтонов путь. Прежде всего, исследуем граф на наличие строго однозначной начальной или конечной вершины каждого гамильтонова пути. Таковой оказывается вершина D, - см. ниже Рис.4.6.
B
C
A
D
F
E
Рис.4.6. Ориентированный граф, соответствующий списку вышеприведенных отношений.
Свойство завершения гамильтоновых путей на этом графе в вершине D выражается наличием 1 во всем столбце D выше приведенной матрицы. Строка на ней для D содержит 0 за исключением 1, расположенной на главной диагонали матрицы.
Может быть и симметричная ситуация, т.е. вся строка состоит из 1, а весь столбец, исключая пересечение со строкой, состоит из 0, - в этом случае соответствующая вершина графа означает начало гамильтоновых путей.
В случаях установления концевых вершин гамильтоновых путей матрица графа допускает упрощение вычеркиванием пар соответствующих столбцов и строк для концевых вершин. В нашем случае после вычеркивания столбца и строки для вершины D получаем М:
A B C E F
-
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
Как легко увидеть из сопоставления матриц и соответствующих графов 1 на пересечении n –ой строки с m – ым столбцом означает наличие пути из вершины n в вершину m длиной в одну дугу.
Чтобы узнать, существуют ли из вершины n в вершину m длиной в не менее двух дуг, поступают следующим образом. Образуют последовательные произведения элементов n –ой строки на последовательные элементы m – ого столбца, например, строки А на столбец С. Тогда получится:
а) 1 * 0 = 0; б) 1 * 1 = 1; в) 0 * 1 = 0; г) 0 * 0 = 0; д) 1 * 1 = 1.
Из выше приведенной матрицы следует, что прямого пути длиной в одну дугу из А в С не существует. Из рассмотрения орграфа, отвечающего этой матрице, устанавливаем, что существуют прямые пути из А в В и из В в С, т.е. существует путь из А в С, но длиной 2. Других путей – через вершины Е или F - мы не обнаружили.
Важно отметить, что если мы хотим получить алгоритм установления подобных путей в отношении связывания всех вершин со всеми, то мы должны матрицу М возвести в квадрат, при этом вместо арифметической суммы при получении соответствующего элемента матрицы (М)2 как в обычном матричном произведении будем проставлять булеву сумму. Таблица булевого суммирования для удобства приведена ниже.
-
А
В
АВ
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
Применяя закон булевого сложения к полученному выше перемножению элементов А –строки на С – столбец, получаем:
0 1 0 0 1 = 1
Точно также вычисляем все остальные элементы матрицы (М)2 и в итоге получаем матрицу (М)2 :
A B C E F
-
A
1
1
1
1
1
B
1
1
1
1
1
C
0
0
1
0
0
E
0
1
1
1
1
F
1
1
1
1
1
Итак, в этой матрице 1 в строках означают наличие пути в соответствующую столбцу вершину длины меньшей или равной 2, а 0 означают их отсутствие. Разглядывая матрицу, мы снова устанавливаем и в этом редуцированном графе наличие концевой вершины – С, что позволяет и далее упрощать граф, вычеркивая соответствующие строки и столбцы.
Новая матрица (М)2 : A B E F
-
A
1
1
1
1
B
1
1
1
1
E
0
1
1
1
F
1
1
1
1
Точно также, как мы искали пути длины меньшей или равной 2, найдем пути длины меншей или равной 3, вычисляя (М)3:
A B E F
-
A
1
1
1
1
B
1
1
1
1
E
1
1
1
1
F
1
1
1
1
Матрица (М)3 содержит только единицы, что доказывает наличие путей длины меньшей или равной 3 между всеми вершинами орграфа А, B, E, F, взятыми по две. Обычно, когда вычисляют матрицы, возведенные в степень n, то действует правило останова:
(М)n+1 = (М)n
ибо это означает, что в М не существует пути, длина которого превышает n. Двигаясь назад по шагам редукции, получаем в итоге гамильтонов путь:
АFEBCD.
Методическое замечание к выполнению домашнего задания.
Представьте ход сражения в виде отдельных боевых операций или боев, например, БСП - бой сторожевого полка, ВСРМК - ввод стратегического резерва монгольской конницы, ВЗП - ввод запасного полка, БППР - бой полка правой руки, БПЛР - бой полка левой руки и т.д. Тогда запись течения сражения представляется в виде временных неравенств между боями:
БСП ВЗП - бой сторожевого полка происходит раньше ввода в сражение запасного полка; БППР ВЗП; БСП БППР; ВСРМК ВЗП; БППР ВСРМК; БПЛР ВЗП; БСП БПЛР; БСП ВСРМК и т.д.
Вопросы для самопроверки:
Объясните, как вы понимаете "проклятие перебора".
Нарисуйте 3-х вершинные знаковые графы неустойчивых, напряженных отношений.
В чем смысл теоремы Картрайта - Хайдера - Харари?
- Охарактеризуйте общие свойства матрицы графа отношений взаимных симпатий и антипатий в группе из n субъектов.
В чем смысл теорем Кенига и Дирака?
Для чего служит операция возведения квадратной матрицы ориентированного графа в n - ую степень?