2.2. Упорядочение компонентов

Исследовалась “сплоченность производственного коллектива”[4]. Под этим понятием подразумевалась совокупность следующих взаимосвязанных факторов:

К – коллективизм как отношение товарищей по труду, проявляющееся во взаимопомощи, взаимовыручке и т.п.;

Е – единодушие (например, членов бригады) в решении того или иного производственного вопроса;

Н – настроение как выражение психологического климата в данном производственном коллективе (например, в бригаде);

И – информированность членов коллектива (бригады) о производственных делах;

О – ответственность членов производственного коллектива (бригады) за порученное дело, соблюдение общественных (групповых) норм и рабочих традиций;

А – активность каждого представителя коллектива (бригады) в сфере производства;

У – управляемость членами коллектива (бригады) по административной линии.

Была поставлена задача: используя статистические данные анкетирования и интервьюирования работников производственных коллективов, получить в рамках порядковой шкалы систему приоритетов для названных семи факторов, обеспечивающую, по мнению опрашиваемых, наилучшее комплексное управление уровнем сплоченности в коллективе.

Итоговым представлением статистического эмпирического материала служила квадратная матрица “0,1”, в которой число строк и столбцов – 7 * 7 – отвечает результатам сравнения друг с другом статусов названного множества факторов (К, И, Н, О, А, У, Е).

	И	Е	К	У	Н	О	А
И	Х	1	1	1	1	0	0
Е	0	Х	0	1	1	0	0
К	1	1	Х	1	0	0	1
У	0	0	0	Х	0	0	0
Н	0	0	0	1	Х	0	1
О	1	1	1	1	1	Х	1
А	0	0	1	0	1	0	Х

Матрица построена так, что:

по главной диагонали находятся пустые клетки, статус каждого фактора в данной системе не больше, но и не меньше самого себя – в соответствующем матрице графе не существует петель в вершинах графа;
«1» ставится на пересечении строки для сравнения статуса соответствующего фактора со статусом фактора, представленного столбцом, если фактически достоверно устанавливается приоритет статуса первого фактора над статусом второго;
«0» ставится в противоположном случае;
если не удается установить приоритета для статусов ни одного из сравниваемых факторов, то ставятся две «1» симметрично главной диагонали – она помечена на матрице косыми крестами;
в случае отсутствия прямого сравнения двух факторов друг с другом симметрично главной диагонали проставляются нули.

Теоретической предпосылкой математического решения поставленной задачи является сопоставления такой матрицы ориентированному графу без петель, в котором каждая пара вершин соединена не более, чем парой дуг.

Инструментальным, с теоретико-графовой точки зрения, выражением комплексного подхода к решению проблемы поднятия уровня сплоченности коллектива является условие одновременного проведения мероприятий по каждому из семи факторов, но с учетом результатов сравнения их статусов, т.е. выстраивания на порядковой шкале для их статусов отношения весов, которые надо придавать этим мероприятиям.

Теоретико-графовой задачей реализующей указанное условие, является задача нахождения гамильтоновых путей на графе, отвечающем указанной матрице «0,1». Насколько содержательна такая постановка задачи, показывает число комбинаторных вариантов упорядочения семи факторов – 7! = 5040.

Чтобы убедиться в наличии хотя бы одного гамильтонова пути (а это прохождение вершин графа по одному разу), обратимся к теореме Кёнига.

Теорема Кёнига. В полном графе (любая пара вершин которого соединена хотя бы в одном направлении) всегда существует гамильтонов путь.

Орграф, отвечающий нашей матрице, удовлетворяет условиям теоремы.

Рецептура поиска гамильтонова пути при наличии матрицы орграфа рекомендует начинать это поиск с обнаружения «конечной» или «начальной» вершины для множества искомых гамильтоновых путей.

Признаком «конечной» вершины является столбец из одних единиц (с учетом «косых крестов диагонали» переименованных в единицы), т.е. сюда только сходятся дуги графа. Признаком «начальной» вершины является столбец из одних нулей (за вычетом единицы на главной диагонали), а строка для той же вершины из одних единиц, т.е. отсюда только выходят дуги графа.

В нашей матрице таковой вершиной – начальной – оказалась вершина, поименованная как «О».

Зачеркивается соответствующий столбец и строка, что трансформирует исходную матрицу «N x N» в «(N-1) x (N-1)». Если в новой матрице ситуация аналогична, то упрощающая трансформация матрицы продолжается. Если таким образом, упорядочение вершин невозможно, то применяется процедура алгоритма Фаулкса, представление о котором дано в Приложении к Лекции.

В симметрическом графе две смежные вершины х и у всегда соединены двумя противоположно ориентированными дугами.

Теорема Дирака.

Если (Х, Г) – симметрический связный граф без петель и если Гх  0.5Х для всех х  Х, то существует гамильтонов контур.

Применение этого алгоритма позволило найти искомый порядок для факторов сплоченности: ОИКЕНАУ.

Пример анализа построений русских войск на Куликовом поле

При построении плана сражения воевода-полководец Василий Боброк – главный помощник (на современном языке – начальник штаба) в.к. Дмитрия Ивановича исходил из следующих тактических особенностей, сильных и слабых сторон татаро-монгольского войска:

основой войска являлась конница, разделяемая на главные силы и стратегический резерв; конница была сильна во фланговых прорывах и слаба (в противовес русским войскам) во фронтальном наступлении;
сильным тактическим приемом монгольской конницы, резко ослабляющим мощь войск противника до его вхождения в непосредственное кульминационное бое столкновение, было длительное осыпание стрелами со значительного расстояния стоящих боевых порядков противника;
монгольский конник помимо оружия нападения – сабли, лука со стрелами и пики имел оружие защиты – нагрудный щиток – от стрел, дротиков, пик, но сзади – со спины защиты не имел, возможно, из соображений: «чтобы реже отступал».

В соответствии с главным замыслом решающий перелом битвы в свою пользу основывался именно на таком течении сражения, чтобы все основные силы монголов, скованные боем, во-первых, атаковали фронтально, а во-вторых, в решающий момент были повернуты спиной к засадному полку.

Для этого надо было выбрать такое место сражения и так построить войска, чтобы было место для этой ловушки и чтобы вся монгольская конница, как главные силы, так и стратегический резерв, в ней оказались.

Но чтобы добиться этого, надо было сохранить боеспособность русских полков, т.е. не дать их расстрелять до главных событий.

Р асположение войск к началу сражения