Лекция 4 Математическое моделирование с использованием теории графов. Многокомпонентность

План

1. Множественность компонент социального явления.

2. Описание взаимосоотношений фрагментов социума и средства получения интегрированного результата анализа.

   1. Структурный баланс Хайдера – Картрайта - Харари.

   2. Упорядочение компонентов.

Ключевые слова:

Маршрут длины т определяется как последовательность т ре­бер графа (не обязательно различных) таких, что граничные вершины двух соседних ребер совпадают.

Замкнутый маршрут приводит в ту же вершину, из которой он начался.

Цепью называется маршрут, все ребра которого различны

Простой цепью на­зывается маршрут, у которого различны все вершины.

Циклом называется замкнутая цепь.

Простым циклом называется простая замкнутая цепь

Дуга - Для указания направления связи между вершинами графа соответствующее ребро отмечается стрелкой. Ориентированное таким образом ребро называют дугой

Ориентированный граф – это граф с ориентированными ребрами.

Путь – это маршрут на ориентированном графе.

полный путь – это путь, проходящий через все вершины ориентированного графа.

простой путь – путь без повторяющихся вершин.

замкнутый путь – это путь, начальные и конечные вершины которого совпадают.

контур – замкнутый путь, в котором все вершины различны.

Гамильтонова цепь – цепь, проходящая через каждую вершину графа только один раз.

Гамильтонов путь – полный, простой путь.

Гамильтонов цикл – замкнутый гамильтонов путь.

1. Множественность компонент социального явления.

Помимо проблемы многомерности, так называемого “проклятия размерности”, существует проблема многокомпонентности социальных явлений, которая также метафорически выражается как “проклятие перебора”, смысл которого просто расшифровывается из разглядывания рис. 4.1.

Рис. 4.1. Геометрическая интерпретация неоднозначности восстановления целого no eгo частям, т. е. решения задач , возникающих при переборе вариантов (Г., Иваницкий, 1976)

Эта проблема перебора вариантов синтеза из изученных подсистем системы, адекватной системе оригиналу пришла в социальные науки из биологии [1].

1. Во- первых, эта проблема заключается в адекватном описании взаимосоотношений фрагментов социума, которое далеко не идентично самоназванию или мнению, полученному из опросного материала. Здесь ситуация подобна деятельности следователя или историка по выявлению истинно значимых отношений, а не формальных или официализированных срезов отношений. Частично об этом шла речь и в предыдущей лекции, там, где изучалась расстановка отношений в разных плоскостях рассмотрения: “с кем провести отдых в воскресный день”, “с кем поработать в полевом исследовании”, “с кем пойти в разведку». В итоге таких обследований получается не простая книга “страниц – графовых срезов отношений”, которую еще надо правильно прочесть, т.е. для полнокровной модели живого коллектива выделить, какие страницы имеют существенный вес, какие малосущественны, а какие еще просто не «написаны», но их явно не достает, что выяснилось из системного анализа и уточнения доходных и временных бюджетов.

Если же не иметь в виду эту проблему многовариантного синтеза, например, из звеньев и бригад целостного рабочего коллектива, то у исследователя может получиться также складная картинка, как и выше на Рис. 4.2, но имеющая к жизни, к ее истине весьма отдаленное отношение.

В качестве примера приведу, на мой взгляд, характерную цитату из «Истории древнего мира, - расцвет древних обществ» М., 1982, стр. 13-14.

«Расширенное же воспроизводство требует определенного соотношения между подразделениями общественного производства – первым (производство средств производства) и вторым (производство предметов потребления). Все области, охваченные древними цивилизациями, и смежные с ними можно рассматривать с точки зрения их роли в общественном разделении труда и принадлежности к первому или второму подразделению. А именно основные земледельческие страны (они же чаще всего производители текстиля) с точки зрения общественного разделения труда принадлежали ко второму подразделению (предметов потребления), в то время как области, произво­дящие сырье, особенно рудное, а также скотоводческие районы принадлежали к первому подразделению (средства производства). На первый взгляд кажется странным, что скотоводческие районы мы считаем районами производства средств производства, а не предметов потребления; и действительно, с точки зрения самих скотоводов, скот есть, прежде всего, средство пропитания. – (Вот она «сила и истинная цена» общественного мнения, установленная в ходе массового опроса!- ред. зам. В.А.Ш.). Но нужно подходить к этому вопросу не с точки зрения скотоводов (это, кстати, и проявления упоминаемого мной закона отражения вида деятельности по А.Н.Леонтьеву), а с точки зрения хозяйства всего древнего общества в целом, общества в основном земледельческого.

И тогда оказывается, что поставки в земледельческие области мяса и других предметов потребления, изготовленные из животной продукции, не являются жизненно необходимыми для расширенного воспроизводства, не говоря уже о том, что в оседлых странах древнего мира животные продукты никогда не относились к необходимым средствам существования. Во всех не кочевых центрах этого времени основное питание трудящегося населения – как рабов, так и не рабов – составляли зерновые продукты – хлеб и пиво с небольшим добавлением растительного масла, лука и чеснока. Потребности этой части населения в шерсти, а также льне и хлопке (например, в Индии) вполне могли удовлетворяться за счет внутренних ресурсов каждой страны.

Скотоводческие же районы снабжали древнее общество в целом в основном тягловым и вьючным скотом и ремесленным сырьем – кожами, т.е. действительно продукцией первого подразделения (средств производства)».

1.2. Графовые средства получения интегрированного результата анализа (cтруктурный баланс, .упорядочение компонентов).

Социальной группой будем называть совокупность из n индивидов, между которыми существуют отношения связные с жизнедеятельностью группы, они весьма сложны и разнообразны. Отношениями друг с другом могут быть связаны все члены группы, но между некоторыми из них отношения могут не существовать (они могут быть не знакомы).

Два субъекта социальной группы могут испытывать симпатию или антипатию друг к другу. Это может зависеть от целого ряда внешних факторов, которые при построении данной модели нас интересовать не будут, нам интересен только сам факт наличия отношения и испытывают ли два члена группы симпатию или антипатию друг к другу. То, какие отношения существуют между двумя индивидами, накладывает свой отпечаток на их сосуществование с другими членами группы.

Допустим, что у вас есть друг, и есть третий человек, которого вы оба знаете, но вам он симпатичен, а вот ваш друг его терпеть не может. Данная гипотетическая ситуация демонстрирует что подобная ситуация чревата резки­ми изменениями и конфликтами. В самом деле, вы, общаясь с вашим другом, будете испытывать дискомфорт из-за разницы ваших отношений к третьему субъекту, соответственно вы постараетесь изменить такое положение вещей, убедив вашего друга изменить отношение к третьему лицу. Он же в свою очередь постарается также изменить ваши отношения, с третьим субъек­том, на диаметрально противоположенные, соответственно и третий субъект попыта­ется изменить отношение к себе вашего друга или ваши с ним отноше­ния. Как видно, сложившаяся ситуация не устраивает ни одного из субъектов и в резу­льтате она будет изменена на более устойчивую, но в результате этих попыток изменения возможно возникновение конфликтов которые в свою очередь отразятся на других членах группы, а соответственно и на всей группе в целом.

Рассматривая подобные ситуации и на основании данных, полученных от психологов и социологов, Ф. Хайдер (F. Heider) сделал предположение, что две из четырёх гипотетически возможных ситуаций устойчивы, а две остальные нет. То есть, если три челове­ка симпатизируют друг другу их отношения устойчивы и если два друга плохо настроены по отношению к третьему субъекту, то и эта система отношений так же устойчива. Первый случай очевиден: ни кому не придёт в го­лову ссорится с друзьями без причины, во второй ситуации двое друзей будут поддерживать отрицательные чувства к третьему субъекту друг у друга, а ему соответственно очень не просто будет их поссорить. Не устойчивая ситуации имеет место в ранее рассмотренном нами случае, когда два друга испытывают раз­ные чувства к третьему субъекту, и ещё одной не устойчивой ситуацией будет случай, когда все три индивида испытывают отрицательные чувства друг к другу.

Для описания и моделирования отношений в социальной группе Ф.Хайдером(F. Heider) , Д.Картрайтом (D. Cartwright),Ф. Харари(F. Harary) была построена теория структурного баланса.

Простой структурный баланс как оценка системы взаимных симпатий и отвержений, - Хайдер:

Рис.4.2.

X₂ x₂ x₂ x₂

       

x₁ x₃ x₁ x₃ x₁ x₃ x₁ x₃

   

Второй и четвертый графы отношений – напряженные, неустойчивые ситуации.

Первый и третий – стабильное равновесие.

Харари и Картрайт – теория взаимодействия в большой группе.

Структурная теорема Хайдера, Харари и Картрайта.

Знаковый граф сбалансирован, если и только если все множество его вершин может быть разбито на два подмножества таких, что в каждом из них вершины соединены ребром с положительным знаком, а вершины, принадлежащие разным подмножествам соединены между собой ребром с отрицательным знаком.

Оценка степени сбалансированности знакового графа:

b(G) = C₊(G)/C(G)

C₊(G) – число положительных циклов в графе;

C(G) – общее число циклов в графе.

Расчет знака в цикле – перемножение знаков ребер.

b₁(G) = ₃ⁿ 1/k*P_k ₃ⁿ1/k*D_k

где к – длина цикла (3, 4, 5 и т.д.); P_k – число положительных циклов длины k, а в знаменателе подсчитывается общее число циклов разных длин.

Рассмотрим для примера модель группы из трёх индивидов, два из которых являются друзьями, и они оба плохо относятся к третьему члену группы. Модель социальной группы представляет объект , где - не ориентированный граф отношений, А – множество вершин графа , В – множество ребер графа , - множество состояний отношений между индивидами состоящее из элементов –1 , 1 . Каждому субъекту социальной группы ставится в соответствие вершина графа. Тот факт что между субъектами существуют отношения означает что между вершинами графа, поставленным в соответствие двум этим субъектам существует ребро, то какие чувства они испытывают друг к другу определяется знаком ребра + или - , будем считать что это отношение симметрично , то есть чувства взаимны .

Соответственно моделью группы из трёх индивидов будет связанный не ориентированный граф, состоящий из трех вершин. Связанным будем называть граф каждая вершина которого связана ребром со всеми остальными вершина­ми графа. Итак, модель группы из трёх индивидов будет иметь вид как на Рис.4.2.

Из ранее описанных соображений делается вывод, что все субъекты группы будут чувствовать себя достаточно комфортно, если число отрицательных ребер четно, и они будут испытывать дискомфорт, если число отрицательных ребер не четно. Ф. Хайдер назвал состояние, когда члены группы чувствуют себя комфортно состоянием баланса, противоположенную ситуацию назвал состоянием дисбаланса. Следующая таблица демонстрирует все возможные ситуации баланса и дисбаланса для группы из трёх индивидов.

Х1 и Х2	Х1 и Х3	Х2 и Х3	Структура находится в состоянии:
+	+	+	Баланса
+	-	-	Баланса
-	+	-	Баланса
-	-	+	Баланса
+	+	-	Дисбаланса
+	-	+	Дисбаланса
-	+	+	Дисбаланса
-	-	-	Дисбаланса

Если же рассматривать более сложные системы, состоящие более, чем из трёх индивидов, то сбалансированной такая система будет только в случае, если все циклы в графе соответствующей этой системе будут положительны. Циклом в графе будем называть замкнутый путь без пересечений, это означает, что ни одна вершина, кроме исходной вершины, не встречается в графе более одного раза. То есть цикл - путь в графе, начало и конец которого совпадают. Путь в графе - это кратчайшая последовательность ребер, соединяющая одну вершину с другой.

Соответственно получим следующую трансляцию данных о социальной группе в термины математической модели.

Кроме того, Д.Картрайтом (D. Cartwright) и Ф. Харари(F. Harary) был определён коэффициент сбалансированности графа, который, напомним, определяется по формуле

,

где b(G) – коэффициент сбалансированности графа G;

C+(G) – число положительно определённых циклов в графе G;

C(G) – общее число циклов в графе G.

Коэффициент сбалансированности графа b(G) принимает значения от 0 до 1. Соответственно при значении b(G) равном 1, граф будет сбалансирован, при всех остальных значениях граф будет несбалансирован, а степень не стабильности моделируемой социальной группы будет обратно пропорциональна коэффициенту сбалансированности.

Вычисление коэффициента сбалансированности связано с большим объемом вычислений: необходимо выделить все циклы в графе, посчитать знак каждого из них, и только затем вычислить коэффициент сбалансированности. Перед студентом ВМК – А.Ставером была поставлена задача: разработать и реализовать алгоритм, позволяющий вычислять при помощи ЭВМ коэффициент сбалансированности графа. Известно, что графу отношений можно поставить в соответствие матрицу отношений, следующим образом:

Соответственно ребру графа, связывающему элементы х₁ и х₂, будет соответствовать элемент а₁₂. Кроме того, так как субъекты испытывают друг к другу симметричные отношения, матрица будет симметричной относительно своей главной диагонали, то есть а_ij = a_ji .

Для иллюстрации построим матрицу, соответствующую графу описывающему социальную группу из четырёх субъектов. Пусть описываемой социальной группе соответствует следующий граф отношений (Рис.4.3.):

Рис.4.3. Граф отношений взаимных симпатий и антипатий в группе из 4-х субъектов.

Матрица отношений, соответствующая графу G, будет иметь следующий вид:

Рассматривая элементы матрицы A_ij , мы получаем информацию о графе, каждый цикл кодируется последовательностью соответствующих элементом матрицы A_ij . Например циклу Х₁ , Х₄ , Х₂ , Х₁ из выше приведенного графа G, будет соответствовать последовательность элементов a₁₄ , a₄₂ , a₂₁ соответствующей ему матрицы A_ij. Кроме того, элементы матрицы A_ij содержат информацию не только о существовании ребра между двумя вершинами, но и о знаке ребра, что дает возможность вычислить знак цикла. Для поиска всех существующих циклов в графе было использовано представление маршрутов графа в виде дерева. Так максимальная длина цикла равняется N+1, где N - число вершин в графе (единица добавляется вследс­твие того, что первая вершина, откуда начинается цикл, является и конечной, т.е. учитывается дважды), то глубина дерева также равняется N+1 . Каждый узел дерева имеет N-1 потомка вследствие того, что граф не содержит петель. Ниже приведен пример такого дерева для графа из трех вершин (Рис.4.4).

Рис. 4.4. Представление маршрутов в виде дерева для графа из трех вершин.

Поиск существующих циклов происходит во время обхода дерева. Каждый путь, содержащий более трёх не повторяющихся узлов дерева и у которого последний узел равен первому, является циклом. Данное дерево строится для каждой вершины графа, то есть функция обхода дерева вызывается N раз, а каждый вновь найденный цикл сравнивается с уже найденными. Если он уникален, то вычисляется его знак, и изменяются счетчики общего числа циклов и числа положительных циклов.

Как ранее говорилось, коэффициент сбалансированности показывает то, насколько моделируемая социальная группа близка или далека от состояния баланса, то есть насколько комфортно чувствуют себя субъекты внутри группы. Используя данную модель, можно на основании вычисления коэффициента сбалансированности дать рекомендации по повышению устойчивости моде­лируемой группы, как, например, обосновать изменение отношений между субъектами группы: исключение или добавление субъекта в группу. Повышение устойчивости благоприятно скажется на жизнедеятельности всей группы, так как это будет означать улучшение социального климата внутри группы.

Но, несмотря на эти результаты, модель всё же дает только прибли­женную картину действительной ситуации, так как она строилась с использо­ванием целого ряда допущений. Например, в модели не учитывается 1) влияние окружения на отношение двух субъектов, 2) что отношения между субъектами считаются симметричными, а могут быть в одну сторону положительными, а в другую отрицательными. Кроме того, модель статична, она оценивает коэффициент сбалансированности на данный момент времени, не показывая возможный вариант развития ситуации.