4.4 Непрерывность функции.
Определение.
Функция
непрерывной в точке
,
если она удовлетворяет следующим трем
условиям:
определена в точке , т.е. существует
;
имеет конечный предел функции при
или существуют односторонние пределы
функции слева и справа и они равны;предел функции равен значению функции в точке , т.е. .
Точка называется точкой разрыва функции , если эта функция в данной точке не является непрерывной. Различают точки разрыва первого рода и второго рода. К точкам разрыва первого рода относятся точки устранимого разрыва и неустранимого разрыва или скачка.
Точки
устранимого разрыва: существует предел
функции при
(или существуют односторонние пределы
функции слева и справа и они равны), но
он не равен ( они не равны) значению
функции в этой точке
,
либо функция не определена в точке
.
Устранимый
разрыв или скачок: существуют конечные
односторонние пределы функции слева
и справа при
,
не равные друг другу
и
,
но
.
Величина
называется скачком или разрывом.
Разрыв второго рода: хотя бы один из односторонних пределов слева или справа равен бесконечности или не существует.
Свойства функций, непрерывных в точке:
если функции и непрерывны в точке , то их сумма + , произведение ∙ и частное / , при условии
,
являются функциями, непрерывными в
точке
;если функция
непрерывна в точке
,
а функция
непрерывна в точке
=
,
то сложная функция
непрерывна в точке
.
Под
знаком непрерывной функции можно
переходить к пределу.
,
т.е.
Функция
называется непрерывной на промежутке
Х, если она непрерывна в каждой точке
этого промежутка. Все элементарные
функции непрерывны в области их
определения.
Свойства функций, непрерывных на отрезке:
1) Если функция непрерывна на отрезке [а, b], то она ограничена на этом отрезке.
2) Если функция непрерывна на отрезке [а, b], то она достигает на этом отрезке своего наименьшего значения m и своего наибольшего значения M.
3) Если непрерывная функция меняет знак на замкнутом промежутке [а, b], то она имеет по крайней мере один корень внутри интервала (a,b).
а) б) в)