Бесконечные пределы.

Если при приближении х к некоторой точке а значения функции неограниченно возрастают, говорят о бесконечном пределе функции в этой точке.

О пределение: функция f(x) имеет в точке а бесконечный предел, если для любого (сколь угодно большого) числа Е > 0 существует число > 0 такое, что при всех х, удовлетворяющих неравенству 0< < (5), выполняется неравенство (6).

Принято писать = . (читается «предел f(x) в точке а равен бесконечности» или « f(x) стремится к бесконечности при х а»). График функции у = f(x), имеющей бес­конечный предел в точке а, при х а неограничен­но удаляется от оси х, приближаясь к прямой х = а («вертикальная асимп­тота», см. рис.).

Если при х, удовлетворяющих (5); вместо (6) выполняется не­равенство f(x) > Е (или f(x) < – Е), то говорят, что =+ , соответственно =– .

Вводятся также односторонние бесконечные пределы.

Замечание. Возможен случай, когда левый предел конечный, а правый бесконечный (или наоборот); возможен также случай, когда нет ни конечного, ни бесконечного предела.

Если при неограниченном возрастании аргумента значения функции приближаются к некоторому числу, говорят о пределе функции на беско­нечности.

Определение: число b₁ называется пределом функции f(x) на плюс бесконечности, если для любого числа > 0 существует число > 0 такое, что при всех х, удовлетворяющих неравенству

х > (7) , выполняется неравенство < . Принято писать = b₁.

В данном определении предполагает­ся, что функция f(x) определена в ок­рестности плюс бесконечности, т. е. при х > , где > 0 – некоторое число. Геометрически = b₁ означает, что при неограниченном удалении точки х от начала координат вправо график функции неограниченно приближается к прямой у = b₁ («горизонтальная асимптота»).

Определение предела функции на минус бесконечности отли­чается от определения тем, что вместо (7) следует написать неравенство х < – . Геометрически =b₂ означает, что при неограниченном удалении влево от начала координат график функции неограни­ченно приближается к прямой у = b₂ .

4.3 Теоремы о пределах функций

1) если предел функции в точке а существует, то он единственный;

2) предел постоянной равен этой постоянной;

3) + – предел суммы равен сумме пределов;

4) = –постоянный множитель можно выносить за знак предела;

5) ∙ – предел произведения равен произведению пределов;

6) , если 0–предел отношения равен отношению пределов.

В теоремах 3) – 6) предполагается существование пределов всех функ­ций в правых частях равенств.

Для непрерывных функций, вычисление пределов в точках, при­надлежащих области определения, сводится к подстановке соответствую­щих значений аргумента функции, т. е. В частности, это правило относится к элементарным функциям и их комбинациям.

Если =0, то , т.е. величина, обратная к бесконечно малой, есть бесконечно большая; если = , то , т. е. величина, обратная к бесконечно большой, есть бесконечно малая. Здесь а означает конечную точку или символ .

Выражения вида в случаях, и либо и , называется неопределенностями вида 0/0 или / .

Раскрыть неопределенность – значит вычислить .

Способы раскрытия неопределенностей вида 0/0 , / , 0∙ ,  , :

1) тождественное преобразование выражения;

1. использование «основных пределов»: первый замечательный предел ;

второй замечательный предел ;

3) применение правила Лопиталя: если существует предел (конечный или бесконечный) отношения производных двух функций, то предел отношения этих функций существует и равен пределу отношения произ­водных: .