Глава 4 Предел функции и непрерывность

4.1 Определения предела функции

Понятие предела функции лежит в основе математического анализа. Пусть – число. Если значения функции приближаются к некоторому числу b, когда значения аргумента приближаются к числу а, то это число b называют пределом функ­ции в точке а.

Определение 1. Число называется пределом функции в точке , если для любой последовательности , сходящейся к , последовательность соответствующих значений функции сходится и ее предел равен . Принято писать .

Определение 2. («на языке – ») : число b называется пределом функции f(x) в точке а (или при стремлении х к а), если для любого (сколь угодно малого) числа > 0 найдется число > 0 такое, что при всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < < (1), выполняется неравенство < (2) .

З амечание. В определении предполагается, что функция f(x) опре­делена в некоторой окрестности точки а (за исключением, возможно, самой точки а) и что х в неравенствах (1) и (2) принадлежит этой окрестности.

Геометрически означает, что точки графика функции у = f(x) приближаются к точке (а, b) на плоскости Оху при приближении точки х к точ­ке а на оси х (рис. a). Неравенства (1) и (2) геометрически означают, что при всех х, достаточно близких к а, точки графика функции f(x) лежат в сколь угодно узкой полоске вида b– <y <b + (рис. б).

4.2 Расширение понятия предела

Бесконечно малая последовательность–это последовательность, пре­дел которой равен нулю.

Теорема: произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последователь­ность.

Если члены последовательности с ростом номера неограниченно воз­растают, то говорят о бесконечном пределе последовательности.

Определение: предел последовательности x₁, х₂, ...., х_n…,... равен бесконечности, если для любого (сколь угодно большого) числа Е > 0 найдется номер N такой, что при всех п  N выполняется неравенство . В этом случае пишут .

Бесконечно большая последовательность – это последовательность, предел которой равен бесконечности.

Теорема: если , то ; если , то .

Односторонние пределы. В некоторых вопросах важно изучать поведение функции не просто вблизи заданной точки, а с одной стороны от этой точки – слева или справа (односторонние пределы.).

Определение: число b₁ называется левым пределом, (или пределом слева) функции f(x) в точке а, если для любого числа > 0 существует число > 0 такое, что при всех х, удовлетворяющих неравенству a– <x<a (3), выполняется неравенство < (4) .

Принято писать , или .

В определении предполагается, что функция f(x) определена в левой полуокрестности точки а, т. е. при х  (а – , a), где > 0, и что х в не­равенствах (3) и (4) принадлежит этой полуокрестности.

Аналогично определяется правый предел (или предел справа): , или .

В этом случае (3) следует заменить неравенством а < х < а + .

Обычный предел существует в том и только в том случае, когда левый и правый пределы в этой точке существуют и равны.