1.3 Способы задания функции

Различают три способа задания функции: 1) аналитический; 2) табличный; 3) графический.

1. Аналитический способ. Если функция выражена при помощи формулы, устанавливающей, какие вычислительные опе­рации надо произвести над х, чтобы получить у, то говорят, что она задана аналитически.

При аналитическом способе задания функция может быть задана:

явно, когда дано выражение у через х, т. е. формула имеет вид ;

неявно, когда х и у связаны между собой уравне­нием вида F(x,у)=0;

параметрически, когда соответствующие друг другу значения х и у выражены через третью переменную величину t, называемую параметром.

Аналитический способ удобен для выполнения математиче­ских действий над функцией и решения задач прогнозирования.

2. Табличный способ состоит в том, что функция задается таб­лицей, содержащей значения аргумента х и соответствующие значения функции , например таблица логарифмов.

3. Графический способ состоит в изображении графика функ­ции – множества точек (х,у) плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента х, а ординаты – соответствующие им значе­ния функции y=f(x).

1. 4 Основные свойства функций

1. Четность и нечетность. Функция называется чет­ной, если для любых значений х из области определения = и нечетной, если = . В противном случае функ­ция у = называется функцией общего вида.

График четной функции симметричен относительно оси ор­динат (например, график функции y=x²), а гра­фик нечетной функции симметричен относительно начала коор­динат (например, график функции у=х³ ).

2. Монотонность. Функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке X, если большему значению аргумен­та из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значе­ние функции.

Функции возрастающие и убывающие называются монотон­ными функциями.

3. Ограниченность. Функция называется ограниченной на промежутке X, если существует такое положительное число М >0, что М для любого х X.

Например, функция у= sin х ограничена на всей числовой оси, ибо 1 для любого х R.

4. Периодичность. Функция у = f (х) называется периодической с периодом Т 0, если для любых х из области определения функции (х + Т) = (х).

Напр., функция у= sin х имеет период Т = 2 , так как для любых х sin (х +2 ) = sin х.

1.5 Обратная функция. Элементарные функции

Пусть есть функция от независи­мой переменной х, определенной на промежутке Х с областью значений Y. Поставим в соответствие каждому y Y единственное значение х Х, при котором . Тогда полученная функция х= (у), определенная на промежутке Y с областью значений X, называется обратной.

Так как традиционно независимую переменную обозначают через х, а функцию через у, то функция, обратная к функции у= f(х), примет вид y= (x). Обратную функцию y= (x) обозначают так же в виде у= (аналогично с обозначением обратной величины).

Н апример, для функции у= а^х обратной будет функ­ция x= или (в обычных обозначениях зависимой и незави­симой переменных) у= .

Можно доказать, что для любой строго монотонной функции существует обратная функция.

Графики взаимно обратных функ­ций симметричны относительно бис­сектрисы первого и третьего коорди­натных углов (на рис. показаны графики взаимно обратных функций y=a^x и y= при а>1).

Сложная функция. Пусть функция y=f(u) есть функция от переменной и, определенной на множестве U с обла­стью значений Y, а переменная и в свою очередь является функцией и= (х) от переменной х, определенной на множестве Х с обла­стью значений U. Тогда заданная на множестве Х функция называется сложной функцией (или композицией функ­ций, суперпозицией функций, функцией от функций).

Понятие элементарной функции.

Из основных функций новые функции могут быть получены двумя способами при помощи: а) алгебраических действий; б) операций образования сложной функции.

Определение. Функции, построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и ко­нечного числа операций образования сложной функции, называются элементарными.

Классификация функций.

Элементарные функции делятся на алгебраические и неалгебраические (трансцендентные).

Алгебраической называется функция, в которой над аргумен­том проводится конечное число алгебраических действий. К чис­лу алгебраических функций относятся:

• целая рациональная функция (многочлен или полином): у= ;

• дробно–рациональная функция – отношение двух многочле­нов;

• иррациональная функция (если в составе операций над аргу­ментом имеется извлечение корня).

Всякая неалгебраическая функция называется трансцендент­ной. К числу трансцендентных функций относятся функции: по­казательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические.