Введение в анализ

Глава 1. Функция

1.1 Понятие множества

Понятие множества принадлежит к числу первичных, не определяемых через более простые. Под множеством понимается совокупность (собрание, набор) некоторых объектов. Объекты, которые образуют множество, называются элементами, или точками, этого множества. Множества обозначаются большими буквами латинского алфавита, а их элементы – малыми буквами. Если а есть элемент множества А, то используется запись а А. Если b не является элементом множества А, то b А. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом Ø.

Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является элементом множества А и обозначается В А. Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Объединением двух множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств, т.е. С = A B.

Пересечением двух множеств А и В называется множество D, состоящее из всех элементов, одновременно принадлежащих каждому из данных множеств А и В, т.е. D = А В.

Разностью множеств А и В называется множество Е, состоящее из всех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В, т.е. Е = А \ В.

Числовые множества. Множества, элементами которых являются действительные числа, называются числовыми. Из курса алгебры известны множества: R – действительных чисел, Q – рациональных, I – иррациональных, Z – целых, N – натуральных чисел. Очевидно, что N Z Q R, I R и R=Q I.

Геометрически множество действительных чисел R изображается точками числовой прямой (или числовой оси), т.е. прямой, на которой выбрано начало отсчета, положительное направление и единица масштаба. Между множеством действительных чисел и точками числовой прямой существует взаимно однозначное соответствие, т.е. каждому действительному числу соответствует определенная точка числовой прямой, и наоборот, каждой точке прямой – определенное действительное число. Поэтому часто вместо "число х" говорят "точка х".

Множество действительных чисел дополняют двумя элементами, обозначаемыми и и называемыми минус бесконечность и плюс бесконечность. Бесконечности и называют еще бесконечно удаленными точками. Предполагается, что для бесконечно удаленных точек справедливы следующие правила:

Часто встречаются числовые множества, называемые промежутками:

1) замкнутый промежуток, или отрезок: [а, b]= {x a };

2) открытый промежуток, или интервал: (a, b) ={x a < х < b}

3) полуоткрытые промежутки: (а, b]= { x a < х b}, [а, b) = { x a х < b};

4) бесконечные промежутки (лучи, полупрямые): ( , а) = {x x < а}, ( , а] = {x x а),

(а, + ) = {x х > а}, [а, + ) == {x х а}, ( , + ) = R (прямая).

Абсолютной величиной (или модулем) действительного числа х называется само число х, если x неотрицательно, и противоположное число –х, если х отрицательно: