Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

При решении прикладных задач важное значение имеют задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений (глобального максимума и глобального мини­мума) функции на промежутке X.

Р анее отмечалось, что если функция непрерывна на отрезке [а, b], то она принимает на нем наибольшее и наимень­шее значения. Наибольшее или наименьшее значение функции может достигаться как в точках экстремума, так и в точках на концах отрезка. Так, на рис. наибольшее значение функции на конце отрезка х=b, а наименьшее – в точке минимума x₁ .

Схема отыскания наибольшего и наименьшего значений на отрезке:

1°. Найти производную .

2°. Найти критические точки функции, в которых или не существует.

3°. Найти значения функции в критических точках и на концах отрезка и выбрать из них наи­большее _наиб. и наименьшее _наим..

Замечание. Если функция непрерывна на интер­вале (а, b), то она может не принимать на нем наибольшее и наименьшее значения. В частном случае, если дифференцируемая функция на интервале (а, b) имеет лишь одну точку максимума (или одну точку минимума), то наибольшее (или наименьшее} значе­ние функции совпадает с максимумом (или минимумом) этой функ­ции, Например, на интервале (1; 2) функция у =2х² – 6х + 5 име­ет один минимум y_min=y(3)=–4, следовательно, это и есть наи­меньшее значение функции y_наим.=–4. Заметим, что наибольшего значения данная функция на указанном интервале не имеет.

Выпуклость функции. Точки перегиба

Ранее мы изучали точки экстремума, нахождение которых во многом определяет структуру графика функции. Оп­ределим теперь другие "узловые" точки функции, которые также следует найти, чтобы качественно построить ее график.

Определение. Функция называется выпуклой вниз (вогнутой) на промежутке X, если для любых двух значений х₁, х₂ Х из этого промежутка выполняется неравенство

.

Определение. Функция называется выпуклой вверх (выпуклой) на проме­жутке X, если для любых двух значении х₁, х₂ Х из этого проме­жутка выполняется неравенство

Очевидно, что если функция выпукла вниз, то отрезок, соединяющий любые две точки графика, целиком лежит над гра­фиком, если – выпукла вверх, то весь такой от­резок целиком лежит под графиком функции .

Теорема. Функция выпукла вниз (вверх) на промежутке Х тогда и только тогда, когда ее первая производная на этом промежутке монотонно возрастает (убывает).

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что если ’(x) возрастает (убывает) на промежутке X, то возрастает (убывает) угол наклона касательных к графику (см.рис. а, б). Это и означает выпуклость функции вниз (вверх).

Достаточное условие выпуклости функции вниз (вверх).

Теорема. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого проме­жутка X, то функция выпукла вниз (вверх) на этом промежутке.

Необходимое условие выпуклости: если функция вы­пукла на промежутке X, то можно утверждать лишь, что f"(x)0 (или "(х)0), хХ.

Определение. Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла вниз и вверх.

Точки перегиба – это точки экстремума первой производной.

Теорема (необходимое условие перегиба). Вторая производная "(х) дважды дифференцируемой функции в точке перегиба х₀ равна нулю, m.e. "(х)=0.

Теорема (достаточное условие перегиба). Если вторая производ­ная "(x) дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку х₀ меняет свой знак, то х₀ есть точка перегиба ее графика.

Следует отметить, что если критическая точка дифференцируемой функции не является точкой экстремума, то она есть точ­ка перегиба.

Схема исследования функции на выпуклость и точки перегиба:

1°. Найти вторую производную функции "(х).

2°. Найти точки, в которых вторая производная ”(х)=0 или не существует.

3°. Исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек и сделать вывод об интервалах выпуклости и наличии точек перегиба.

4°. Найти значения функции в точках перегиба.