5.2 Основные теоремы дифференциального исчисления
Теорема Ферма. Если дифференцируемая на промежутке Х функция y=f(x) достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке x0 этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, т.е. f (х0) = 0 .
Геометрический смысл теоремы Ферма : в точке наибольшего или наименьшего значения, достигаемого внутри промежутка X, касательная к графику функции параллельна оси абсцисс.
Теорема Ферма может быть использована для доказательства следующих теорем о среднем.
Теорема Ролля. Пусть функция у =f(х) удовлетворяет следующим условиям:
1) Непрерывна на отрезке [а, b];
2) Дифференцируема на интервале (а, b);
3)на концах отрезка принимает равные значения, т.е. (a)= (b).
Тогда внутри отрезка существует, по крайней мере, одна такая точка с (a,b), в которой производная функция равна нулю: ’(с)=0.
Отметим геометрический смысл
теоремы Ролля (см.рис.): найдется
хотя бы одна точка, в которой касательная
к графику функции будет параллельна
оси абсцисс, в этой точке производная
и будет равна нулю (заметим, что на
рис. таких точек две:
1
и
2
)
Если (а)=(b)=0, то теорему Ролля можно сформулировать так: между двумя последовательными нулями дифференцируемой функции имеется хотя бы один нуль производной.
Теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа.
Теорема Лагранжа. Пусть функция у=(x) удовлетворяет следующим условиям:
1) Непрерывна на отрезке [а, b];
2) Дифференцируема на интервале (а, b);
Тогда внутри отрезка существует, по крайней мере, одна такая точка
(а,
b), в которой производная равна частному
от деления приращения функции на
приращение аргумента на этом отрезке,
т.е.
.
Заключение теоремы Лагранжа может быть
записано и в виде:
.
Механический смысл теоремы Лагранжа:
приращение (b)–(a)
– это изменение функции на отрезке
[a;b];
– средняя скорость изменения функции
на этом отрезке; значения же производной
в точке – это "мгновенная" скорость
изменения функции. Таким образом, теорема
утверждает: существует хотя бы
одна точка внутри отрезка такая, что
скорость изменения функции в ней равна
средней скорости изменения функции на
этом отрезке.
Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа приведена на рис.: если перемещать прямую АВ параллельно начальному положению, найдется хотя бы одна точка (а, b), в которой касательная к графику (х) и хорда АВ, проведенная через концы дуги АВ, параллельны .
Следствие. Если производная функции (х) равна нулю на некотором промежутке X, то функция тождественно постоянна на этом промежутке.
Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши.
Теорема Коши. Если функции и :
Непрерывны на отрезке ,
2) Дифференцируемы на интервале , причем для ,
то найдется хотя бы одна точка
такая, что выполняется равенство
.
Правило Лопиталя. Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле.
Итак, если имеется неопределенность
вида
или
, то
или
.