1.3.3 Алгоритм решения слау в форме жордановых таблиц
Рассмотрим исходную СЛАУ в общей форме:
Запишем эту систему в виде нуль - равенств.
Внесем эту систему в жорданову таблицу:
-
1
…
…
…
…
………………
…
…
………………
Здесь на месте базисных переменных пока стоят нули.
Уравнения исходной системы записать в жорданову таблицу в виде нуль - равенств (нуль - строк).
Выполнить один шаг жордановых исключений.
Принять за разрешающую строку любое нуль-равенство, а за разрешающий столбец любой столбец ( ≠0).
В новой таблице поменять местами заглавные элементы разрешающей строки и разрешающего столбца (0 и
или
и
).Выполнить пересчет таблицы. Правила пересчета приведены выше.
Вычеркнуть нуль-столбец (элементы разрешающегося столбца можно вообще не вычислять).
Проанализировать новую таблицу.
Если имеется нуль-строка со всеми нулевыми элементами, кроме свободного члена, то СЛАУ несовместна.
Если есть нуль-строки полностью состоящие из нулей, то их надо вычеркнуть.
Если нуль-равенства еще имеются, то необходимо вернуться на пункт II.
После ряда шагов жордановых исключений в таблице будет получено общее решение СЛАУ.
-
1
… …
…
…
………………
…
…
………………
Отметим, что если r= n, то в таблице останется только столбец свободных членов. В этом случае СЛАУ имеет единственное решение.
1.3.4 Примеры решения типовых задач
Пример 1. Решить СЛАУ.
Решение.
Составим жорданову таблицу.
|
1 |
|
|
15 |
2 -1 4 |
|
8 |
2 1 1 |
|
5 |
3 -1 0 |
Выберем разрешающий элемент. Он выделен жирным шрифтом и подчеркнут.
После пересчета элементов таблица принимает вид:
|
1 |
|
|
-17 |
-6 -5 -4 |
|
8 |
2 1 1 |
|
5 |
3 -1 0 |
Нуль - столбец можно вычеркнуть.
|
1 |
|
|
-17 |
-6 -5 |
|
8 |
2 1 |
|
5 |
3 -1 |
Выберем разрешающий элемент.
После пересчета элементов таблица принимает вид:
|
1 |
|
|
-42 |
-21 |
|
13 |
5 |
|
-5 |
-3 |
Разделим все элементы нуль - строки на -21.
|
1 |
|
|
2 |
1 |
|
13 |
5 |
|
-5 |
-3 |
Выберем разрешающий элемент.
После пересчета элементов таблица принимает вид:
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
1 |
Ответ: (2; 1; 3).
Пример 2. Решить СЛАУ.
Решение.
Составим жорданову таблицу.
|
1 |
|
|
2 |
2 -3 -1 |
|
1 |
-1 -1 2 |
|
3 |
1 -4 1 |
Выберем разрешающий элемент.
После пересчета элементов таблица принимает вид:
|
1 |
|
|
-4 |
5 -3 |
|
4 |
-5 3 |
|
3 |
-4 1 |
Выберем разрешающий элемент.
После пересчета элементов таблица принимает вид:
|
1 |
|
|
-4/5 |
-3/5 |
|
0 |
0 |
|
-1/5 |
-7/5 |
Найдено общее решение СЛАУ в базисе (х1 ; х2):
