1.3 Решение систем линейных алгебраических уравнений в форме жордановых таблиц
1.3.1 Основные понятия
Общая форма записи системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) имеет вид:
(6)
где
-
постоянные
коэффициенты,
m - число уравнений,
n - число неизвестных,
-
свободные члены,
-
неизвестные величины.
Совокупность значений неизвестны, которая обращает все уравнения системы в тождества, называется решением этой системы.
СЛАУ называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной в противном случае.
Совместная система может иметь одно решение или бесчисленное множество решений.
Теорема Кронекера - Капелли. Для совместности СЛАУ необходимо и достаточно чтобы ранг матрицы этой системы равнялся рангу ее расширенной матрицы.
Теорема. Совместная СЛАУ имеет единственной решение, если ранг ее матрицы равен числу неизвестных (r= n) и бесчисленное множество решений, если ранг ее матрицы меньше числа неизвестных (r< n).
В линейном программировании системы уравнений – ограничений имеют бесчисленные множества решений, из которых необходимо найти решения соответствующие оптимальному значению функции цели. Все частные решения СЛАУ (1) содержатся в общем решении этой системы:
(7)
где
…
- базисные переменные,
…
-
свободные переменные.
Если в общем решении
(7) свободным переменным присвоить
нулевые значения, то получится частное
решение, называемое базисным
(
…
,
0,…,0).
Базисное решение, не содержащее отрицательных значений, называется опорным.
1.3.2 Жордановы таблицы
Запишем СЛАУ (7) в форме таблицы:
-
1
…
…
…
…
………………
…
…
………………
Такую таблицу обычно называют жордановой таблицей (модифицированной жордановой таблицей). Первый столбец является заглавным столбцом таблицы, а первая строка – заглавной строкой. Свободные переменные стоят со знаком минус. Во втором столбце (под единицей) располагают свободные члены уравнений.
В качестве базисных
можно взять другие переменные. Для
перехода к другому базису, в котором
меняются местами одна базисная (
)
и одна свободная (
)
переменные необходимо выполнить один
пересчет таблицы (один шаг жордановых
исключений). При выполнении пересчета
таблицы строку номер k
называют разрешающей строкой, столбец
номер s
называют разрешающим столбцом, а элемент
-
разрешающим
элементом.
-
1
…
…
…
…
………………
…
…
………………
Новые коэффициенты обозначены символом «штрих», их значения вычисляются по правилам пересчета таблиц:
- разрешающий элемент заменить его обратной величиной;
- остальные элементы разрешающей строки разделить на разрешающий элемент;
- остальные элементы разрешающего столбца разделить на разрешающий элемент и изменить знак на противоположный;
- все остальные элементы таблицы вычислить по правилу прямоугольников.
Правило прямоугольников.
Умозрительно выделить прямоугольник, главную диагональ которого образуют пересчитываемый элемент и разрешающий элемент.
Рассмотрим фрагмент таблицы.
……………………..
…
……….
…
………………………
…
…………
…
…………………..
- пересчитываемый элемент, - разрешающий элемент.
Элементы , образуют главную диагональ, элементы , образуют побочную диагональ.
Новое значение пересчитываемого элемента равно разности произведений элементов главной и побочной диагоналей, деленной на разрешающий элемент:
.