Общая схема формирования экономико-математической модели
1) Выбор некоторого
числа переменных
величин
(управляемых параметров),
задание числовых значений которых
однозначно определяет одно из возможных
состояний исследуемого явления.
Совокупность неизвестных величин будем
обозначать
,
а полученные числовые значения для
вектора
будем называть решением
или планом
задачи.
2) Формулировка
критерия
оптимальности.
Для этого
строим целевую
функцию и
определяем вид искомого ее экстремума
(max
или min).
Это может
быть максимум прибыли, минимум затрат
производства и т.д. Целевую функцию
обозначим
.
3) Построение (составление) системы ограничений.
Система ограничений – это совокупность условий, налагаемых на неизвестные величины. Математически ограничения выражаются в виде уравнений и неравенств. Совокупность решений, удовлетворяющих системе ограничений, образует область допустимых решений (ОДР) задачи.
Задача математического
программирования формируется следующим
образом: найти план
,
доставляющий экстремальное значение
целевой функции
,
т.е.
,
(1.1)
при ограничениях
,
(1.2)
,
(1.3)
,
(1.4)
,
(1.5)
где 
заданные действительные числа.
Целевая функция (1.1) и ограничения (1.2)-(1.5) являются экономико – математической моделью задачи математического программирования.
План
,
удовлетворяющий системе ограничений
задачи, называется допустимым.
Допустимый план,
доставляющий функции цели экстремальное
значение, называется оптимальным.
Его будем обозначать
.
Экстремальное
значение целевой функции
.
Оптимальное решение не обязательно единственно. Возможны случаи, когда оно не существует, когда имеется конечное или бесчисленное множество оптимальных решений.
Классификация методов математического программирования
В зависимости от
особенностей целевой функции
и функций
,
задающих ограничения, задачи математического
программирования можно отнести к
следующим вариантам:
1 Если целевая
функция
и функции
,
входящие в систему ограничений, линейны
(первой степени) относительно входящих
в модель задачи неизвестных
,
то такие задачи относят к разделу
линейного
программирования (ЛП).
2 Если в задаче математического программирования целевая функция и (или) хотя бы одна из функций системы ограничений не линейна относительно входящих в задачу неизвестных , то такие задачи относят к разделу нелинейного программирования (НЛП).
3 Если на все или некоторые переменные наложено условие дискретности, например целочисленности ( = 0,1,2…), то такие задачи рассматриваются в разделе математического программирования, называемом дискретным, в частности целочисленным программированием (ЦП).
4 Если параметры целевой функции или системы ограничений изменяются во времени или процесс решения задачи имеет многошаговый характер, то такие задачи решаются методами динамического программирования (ДП).
В перечисленных выше разделах математического программирования предполагается, что вся информация о протекании процессов заранее известна и достоверна. Такие методы оптимизации называются детерминированными.
5 Если параметры, входящие в функцию цели, или ограничения задачи являются случайными, недостоверными величинами или, если приходится принимать решения в условиях риска, неполной или недостоверной информации, то говорят о проблеме стохастической оптимизации, а соответствующий раздел называется стохастическим программированием (СП). К данному разделу относятся теория массового обслуживания, математическая теория игр и некоторые другие.
Рассмотрим некоторые примеры оптимизационных задач, относящихся к разделу линейного программирования.