Предмет математического программирования

Прикладная математика представляет собой раздел математики, который рассматривает и исследует применение алгоритмов и математических методов в других научных сферах. Примерами такого применения являются такие разделы прикладной математики как численные методы, математическое программирование, математическая физика, оптимизация, механика сплошных сред, и исследование операций, теория игр, теория информации, статистика, теория вероятностей, теория страхования, финансовая математика и криптография.

Ученые приходят к выводу, что нельзя очертить четкие границы в вопросе определения прикладной математики, поскольку многие задачи из различных областей наук можно описать с помощью математических методов.

Рассмотрим один из разделов прикладной математики, который стал уже неотъемлемой частью экономического образования – это математическое программирование.

Математическое программирование – область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения многомерных экстремальных задач с ограничениями, т.е. задач на экстремум функции многих переменных с ограничениями на область изменения этих переменных.

Становление современного математического аппарата оптимальных экономических решений началось в 1940-е гг., благодаря первым работам Н. Винера, Р. Беллмана, С. Джонсона, Л. В. Канторовича.

В 1938 г. Перед двадцатипятилетним профессором ЛГУ Л. В. Канторовичем была поставлена задача: как наилучшим образом распределить работу восьми станков фанерного треста при условии, что известна производительность каждого станка по каждому из пяти видов обрабатываемых материалов. В 1939г. Канторович опубликовал работу «Математические методы оптимизации и планирования производства», в которой впервые сформулировал задачу линейного программирования и разработал алгоритм ее решения. В 1975г. Совместно с американским ученым Т. Купмансом Канторович получил Нобелевскую премию в области экономика за вклад в теорию оптимизации распределения ресурсов.

Предметом исследования математического программирования являются оптимизационные задачи. Термины «оптимум», «оптимальность», «оптимизация» происходят от латинского слова optimus, что означает «наилучший» и используется для обозначения наилучшего с какой-либо фиксированной точки зрения решения.

Основным в понимании данных терминов является то, что оптимальное решение не есть абсолютно лучшее, а лучшее в каком-то смысле, т.е. по какому-либо критерию. Например, при выборе варианта переезда из одного города в другой можно воспользоваться самолетом или поездом. Легко показать, что каждое решение является оптимальным по соответствующему критерию. Так, если цель – затратить на проезд как можно больше времени, то из данных вариантов наилучшим, безусловно, является первый. Если же цель – минимум затрат на билет, то оптимальным окажется второй вариант.

Отметим еще одну особенность понятия оптимальности. Задача может быть поставлена так, что оптимальным по критерию времени на проезд окажется второй вариант (поезд). Действительно, если количество денег (ресурсы необходимые для достижения цели) недостаточно для приобретения билета на самолет, то единственным, а значит наилучшим будет поездка поездом. Следовательно, при постановке практических задач всегда следует учитывать ресурсное обеспечение процесса достижения цели.

Рассмотрим основные понятия математического программирования.

Целевой функцией (показателем эффективности, критерием оптимальности) называют функцию, экстремальное значение которой нужно найти.

Экстремальным значением называют максимальное или минимальное значение.

Системой ограничений называют условия, которым должно удовлетворять решение задачи.

Математическая модель задачи – это постановка исходной задачи в виде целевой функции и системы ограничений.